Номер 1013, страница 308 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 10. Интеграл. Параграф 58. Вычисление площадей с помощью интегралов - номер 1013, страница 308.

Условие.

1013 На рисунке 164 изображены криволинейные трапеции. Найти площадь каждой из них.

a) $y = x^2 + 4$

б) $y = \sqrt{x} + 1$

в) $y = \frac{2}{x}$

Рис. 164

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для нахождения площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y=f(x)$ (где $f(x) \ge 0$), осью абсцисс и прямыми $x=a$ и $x=b$, используется формула определенного интеграла:

$S = \int_{a}^{b} f(x) \,dx$

а)

Фигура ограничена графиком функции $y = x^2 + 4$, осью Ox и прямыми $x = -1$ и $x = 1$. Площадь этой фигуры вычисляется как определенный интеграл:

$S = \int_{-1}^{1} (x^2 + 4) \,dx$

Найдем первообразную для подынтегральной функции: $F(x) = \frac{x^3}{3} + 4x$.

Теперь вычислим значение интеграла по формуле Ньютона-Лейбница:

$S = \left. \left( \frac{x^3}{3} + 4x \right) \right|_{-1}^{1} = \left(\frac{1^3}{3} + 4 \cdot 1\right) - \left(\frac{(-1)^3}{3} + 4 \cdot (-1)\right) = \left(\frac{1}{3} + 4\right) - \left(-\frac{1}{3} - 4\right) = \frac{1}{3} + 4 + \frac{1}{3} + 4 = \frac{2}{3} + 8 = \frac{26}{3} = 8 \frac{2}{3}$.

Ответ: $8 \frac{2}{3}$

б)

Фигура ограничена графиком функции $y = \sqrt{x} + 1$, осью Ox и прямыми $x = 0$ и $x = 1$. Ее площадь вычисляется как определенный интеграл:

$S = \int_{0}^{1} (\sqrt{x} + 1) \,dx$

Найдем первообразную для $f(x) = x^{1/2} + 1$: $F(x) = \frac{x^{3/2}}{3/2} + x = \frac{2}{3}x^{3/2} + x$.

Вычислим интеграл:

$S = \left. \left( \frac{2}{3}x^{3/2} + x \right) \right|_{0}^{1} = \left(\frac{2}{3} \cdot 1^{3/2} + 1\right) - \left(\frac{2}{3} \cdot 0^{3/2} + 0\right) = \left(\frac{2}{3} + 1\right) - 0 = \frac{5}{3} = 1 \frac{2}{3}$.

Ответ: $1 \frac{2}{3}$

в)

Фигура ограничена графиком функции $y = \frac{2}{x}$, осью Ox и прямыми $x = 1$ и $x = 4$. Ее площадь вычисляется как определенный интеграл:

$S = \int_{1}^{4} \frac{2}{x} \,dx$

Первообразная для функции $f(x) = \frac{2}{x}$ имеет вид $F(x) = 2\ln|x|$. Поскольку на интервале интегрирования $[1, 4]$ переменная $x$ положительна, то $F(x) = 2\ln(x)$.

Вычислим интеграл:

$S = \left. \left( 2\ln(x) \right) \right|_{1}^{4} = 2\ln(4) - 2\ln(1) = 2\ln(4) - 2 \cdot 0 = 2\ln(4)$.

Этот результат также можно записать как $4\ln(2)$, так как $2\ln(4) = 2\ln(2^2) = 2 \cdot 2\ln(2) = 4\ln(2)$.

Ответ: $2\ln(4)$