Номер 1007, страница 303 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 10. Интеграл. Параграф 57. Вычисление интегралов - номер 1007, страница 303.

Условие.

1007 1) $\int_{0}^{4} (x - 3 \sqrt{x}) dx;$

2) $\int_{1}^{9} \left( 2x - \frac{3}{\sqrt{x}} \right) dx;$

3) $\int_{0}^{2} e^{3x} dx;$

4) $\int_{1}^{3} 2e^{2x} dx.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Для вычисления определенного интеграла $\int_0^4 (x - 3\sqrt{x}) dx$ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ - первообразная для $f(x)$.

Сначала найдем первообразную для подынтегральной функции $f(x) = x - 3\sqrt{x}$. Представим $\sqrt{x}$ как $x^{1/2}$.

$\int (x - 3x^{1/2}) dx = \int x dx - 3\int x^{1/2} dx$

Используя табличные интегралы для степенной функции ($\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$), получаем:

$F(x) = \frac{x^{1+1}}{1+1} - 3 \cdot \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} = \frac{x^2}{2} - 3 \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{x^2}{2} - 3 \cdot \frac{2}{3}x^{3/2} = \frac{x^2}{2} - 2x^{3/2}$

Теперь подставим пределы интегрирования:

$\int_0^4 (x - 3\sqrt{x}) dx = \left. \left(\frac{x^2}{2} - 2x^{3/2}\right) \right|_0^4 = \left(\frac{4^2}{2} - 2 \cdot 4^{3/2}\right) - \left(\frac{0^2}{2} - 2 \cdot 0^{3/2}\right)$

$= \left(\frac{16}{2} - 2 \cdot (\sqrt{4})^3\right) - (0 - 0) = (8 - 2 \cdot 2^3) = 8 - 2 \cdot 8 = 8 - 16 = -8$

Ответ: -8

2)

Вычислим интеграл $\int_1^9 \left(2x - \frac{3}{\sqrt{x}}\right) dx$.

Найдем первообразную для $f(x) = 2x - \frac{3}{\sqrt{x}}$. Представим $\frac{1}{\sqrt{x}}$ как $x^{-1/2}$.

$\int (2x - 3x^{-1/2}) dx = 2\int x dx - 3\int x^{-1/2} dx$

$F(x) = 2 \cdot \frac{x^2}{2} - 3 \cdot \frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} = x^2 - 3 \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} = x^2 - 6x^{1/2} = x^2 - 6\sqrt{x}$

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_1^9 \left(2x - \frac{3}{\sqrt{x}}\right) dx = \left. (x^2 - 6\sqrt{x}) \right|_1^9 = (9^2 - 6\sqrt{9}) - (1^2 - 6\sqrt{1})$

$= (81 - 6 \cdot 3) - (1 - 6 \cdot 1) = (81 - 18) - (1 - 6) = 63 - (-5) = 63 + 5 = 68$

Ответ: 68

3)

Вычислим интеграл $\int_0^2 e^{3x} dx$.

Первообразная для функции $e^{kx}$ равна $\frac{1}{k}e^{kx}$. В данном случае $k=3$.

$F(x) = \int e^{3x} dx = \frac{1}{3}e^{3x}$

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_0^2 e^{3x} dx = \left. \frac{1}{3}e^{3x} \right|_0^2 = \frac{1}{3}e^{3 \cdot 2} - \frac{1}{3}e^{3 \cdot 0} = \frac{1}{3}e^6 - \frac{1}{3}e^0 = \frac{1}{3}e^6 - \frac{1}{3} \cdot 1 = \frac{e^6 - 1}{3}$

Ответ: $\frac{e^6 - 1}{3}$

4)

Вычислим интеграл $\int_1^3 2e^{2x} dx$.

Найдем первообразную для $f(x) = 2e^{2x}$.

$F(x) = \int 2e^{2x} dx = 2 \int e^{2x} dx = 2 \cdot \frac{1}{2}e^{2x} = e^{2x}$

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_1^3 2e^{2x} dx = \left. e^{2x} \right|_1^3 = e^{2 \cdot 3} - e^{2 \cdot 1} = e^6 - e^2$

Ответ: $e^6 - e^2$