Номер 1009, страница 304 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 10. Интеграл. Параграф 57. Вычисление интегралов - номер 1009, страница 304.

Условие.

1009 1) $\int_1^2 \frac{5x-2}{\sqrt[3]{x}} dx;$

2) $\int_1^3 \frac{3x-1}{\sqrt{x}} dx;$

3) $\int_2^7 \frac{4}{\sqrt{x+2}} dx.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Вычислим определенный интеграл $ \int_{1}^{2} \frac{5x-2}{\sqrt[3]{x}} dx $.
Сначала преобразуем подынтегральную функцию, разделив числитель на знаменатель почленно. Используем свойство степеней $ \sqrt[3]{x} = x^{1/3} $.
$ \frac{5x-2}{\sqrt[3]{x}} = \frac{5x}{x^{1/3}} - \frac{2}{x^{1/3}} = 5x^{1 - 1/3} - 2x^{-1/3} = 5x^{2/3} - 2x^{-1/3} $.
Теперь интегрируем полученное выражение. Используем формулу для интеграла степенной функции $ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $.
$ \int (5x^{2/3} - 2x^{-1/3}) dx = 5 \int x^{2/3} dx - 2 \int x^{-1/3} dx = 5 \frac{x^{2/3+1}}{2/3+1} - 2 \frac{x^{-1/3+1}}{-1/3+1} = 5 \frac{x^{5/3}}{5/3} - 2 \frac{x^{2/3}}{2/3} = 3x^{5/3} - 3x^{2/3} $.
Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница $ \int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a) $, где $ F(x) $ - первообразная для $ f(x) $.
$ \int_{1}^{2} (5x^{2/3} - 2x^{-1/3}) dx = \left. (3x^{5/3} - 3x^{2/3}) \right|_{1}^{2} = (3 \cdot 2^{5/3} - 3 \cdot 2^{2/3}) - (3 \cdot 1^{5/3} - 3 \cdot 1^{2/3}) $.
$ (3 \cdot \sqrt[3]{2^5} - 3 \cdot \sqrt[3]{2^2}) - (3 \cdot 1 - 3 \cdot 1) = (3 \cdot \sqrt[3]{32} - 3 \cdot \sqrt[3]{4}) - 0 = 3 \cdot \sqrt[3]{8 \cdot 4} - 3\sqrt[3]{4} = 3 \cdot 2\sqrt[3]{4} - 3\sqrt[3]{4} = 6\sqrt[3]{4} - 3\sqrt[3]{4} = 3\sqrt[3]{4} $.
Ответ: $3\sqrt[3]{4}$

2) Вычислим определенный интеграл $ \int_{1}^{3} \frac{3x-1}{\sqrt{x}} dx $.
Преобразуем подынтегральную функцию, используя $ \sqrt{x} = x^{1/2} $.
$ \frac{3x-1}{\sqrt{x}} = \frac{3x}{x^{1/2}} - \frac{1}{x^{1/2}} = 3x^{1 - 1/2} - x^{-1/2} = 3x^{1/2} - x^{-1/2} $.
Найдем первообразную:
$ \int (3x^{1/2} - x^{-1/2}) dx = 3 \int x^{1/2} dx - \int x^{-1/2} dx = 3 \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} - \frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} = 3 \frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{x^{1/2}}{1/2} = 2x^{3/2} - 2x^{1/2} $.
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$ \int_{1}^{3} (3x^{1/2} - x^{-1/2}) dx = \left. (2x^{3/2} - 2x^{1/2}) \right|_{1}^{3} = (2 \cdot 3^{3/2} - 2 \cdot 3^{1/2}) - (2 \cdot 1^{3/2} - 2 \cdot 1^{1/2}) $.
$ (2 \cdot \sqrt{3^3} - 2\sqrt{3}) - (2 \cdot 1 - 2 \cdot 1) = (2 \cdot 3\sqrt{3} - 2\sqrt{3}) - 0 = 6\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3} $.
Ответ: $4\sqrt{3}$

3) Вычислим определенный интеграл $ \int_{2}^{7} \frac{4}{\sqrt{x+2}} dx $.
Этот интеграл удобно решать методом замены переменной.
Пусть $ t = x+2 $. Тогда $ dt = d(x+2) = dx $.
Найдем новые пределы интегрирования:
Если $ x=2 $, то $ t = 2+2=4 $.
Если $ x=7 $, то $ t = 7+2=9 $.
Подставим новую переменную и новые пределы в интеграл:
$ \int_{2}^{7} \frac{4}{\sqrt{x+2}} dx = \int_{4}^{9} \frac{4}{\sqrt{t}} dt = \int_{4}^{9} 4t^{-1/2} dt $.
Теперь найдем первообразную и вычислим интеграл:
$ \int_{4}^{9} 4t^{-1/2} dt = \left. 4 \frac{t^{-1/2+1}}{-1/2+1} \right|_{4}^{9} = \left. 4 \frac{t^{1/2}}{1/2} \right|_{4}^{9} = \left. 8t^{1/2} \right|_{4}^{9} = \left. 8\sqrt{t} \right|_{4}^{9} $.
Подставляем пределы интегрирования:
$ 8\sqrt{9} - 8\sqrt{4} = 8 \cdot 3 - 8 \cdot 2 = 24 - 16 = 8 $.
Ответ: 8