Номер 1024, страница 309 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 10. Интеграл. Параграф 58. Вычисление площадей с помощью интегралов - номер 1024, страница 309.

Условие.

1024 Фигура ограничена линиями $y = x^2 + 1$, $y = 0$, $x = 0$, $x = 1$. Найти точку $(x_0; y_0)$ графика функции $y = x^2 + 1$, через которую надо провести касательную к этому графику так, чтобы она отсекала от фигуры трапецию наибольшей площади.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Задача состоит в том, чтобы найти точку $(x_0, y_0)$ на графике функции $y = x^2 + 1$, касательная в которой образует с прямыми $x=0$, $x=1$ и $y=0$ трапецию наибольшей площади. Точка касания должна лежать в пределах заданной фигуры, то есть ее абсцисса $x_0$ должна принадлежать отрезку $[0, 1]$.

Сначала найдем уравнение касательной к графику функции $f(x) = x^2 + 1$ в произвольной точке $x_0 \in [0, 1]$. Производная функции равна $f'(x) = 2x$. Угловой коэффициент касательной в точке $x_0$ равен $k = f'(x_0) = 2x_0$. Ордината точки касания: $y_0 = f(x_0) = x_0^2 + 1$.

Уравнение касательной в точке $(x_0, y_0)$ имеет вид $y - y_0 = k(x - x_0)$. Подставим известные значения:

$y - (x_0^2 + 1) = 2x_0(x - x_0)$

$y = 2x_0x - 2x_0^2 + x_0^2 + 1$

$y = 2x_0x - x_0^2 + 1$

Далее определим площадь трапеции. Эта трапеция ограничена сверху найденной касательной, снизу — осью абсцисс ($y=0$), а по бокам — прямыми $x=0$ и $x=1$. Это прямоугольная трапеция, высота которой $h$ равна расстоянию между прямыми $x=0$ и $x=1$, то есть $h=1$.

Основаниями трапеции являются отрезки на прямых $x=0$ и $x=1$. Найдем их длины, подставив соответствующие значения $x$ в уравнение касательной.

Длина первого основания $b_1$ (при $x=0$):

$b_1 = 2x_0(0) - x_0^2 + 1 = 1 - x_0^2$

Длина второго основания $b_2$ (при $x=1$):

$b_2 = 2x_0(1) - x_0^2 + 1 = -x_0^2 + 2x_0 + 1$

Площадь трапеции $S$ зависит от $x_0$ и вычисляется по формуле $S = \frac{b_1+b_2}{2}h$:

$S(x_0) = \frac{(1 - x_0^2) + (-x_0^2 + 2x_0 + 1)}{2} \cdot 1 = \frac{-2x_0^2 + 2x_0 + 2}{2} = -x_0^2 + x_0 + 1$

Теперь нам нужно найти максимальное значение функции $S(x_0) = -x_0^2 + x_0 + 1$ на отрезке $x_0 \in [0, 1]$. График этой функции — парабола с ветвями, направленными вниз, поэтому ее максимум достигается в вершине. Найдем абсциссу вершины, взяв производную функции $S(x_0)$ и приравняв ее к нулю:

$S'(x_0) = (-x_0^2 + x_0 + 1)' = -2x_0 + 1$

Приравняем производную к нулю:

$-2x_0 + 1 = 0 \implies x_0 = \frac{1}{2}$

Значение $x_0 = \frac{1}{2}$ принадлежит отрезку $[0, 1]$, следовательно, в этой точке площадь трапеции максимальна.

Осталось найти координаты искомой точки $(x_0, y_0)$. Мы нашли абсциссу $x_0 = \frac{1}{2}$. Ординату $y_0$ найдем, подставив $x_0$ в уравнение исходной функции:

$y_0 = x_0^2 + 1 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 + 1 = \frac{1}{4} + 1 = \frac{5}{4}$

Таким образом, искомая точка имеет координаты $\left(\frac{1}{2}; \frac{5}{4}\right)$.

Ответ: $\left(\frac{1}{2}; \frac{5}{4}\right)$