Номер 1029, страница 314 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 10. Интеграл. Параграф 59. Применение производной и интеграла к решению практических задач - номер 1029, страница 314.

Условие.

1029 Показать, что функция $y = C_1 \cos \omega x + C_2 \sin \omega x$ при любых значениях $C_1$ и $C_2$ является решением дифференциального уравнения $y'' + \omega^2 y = 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для того чтобы показать, что функция $y = C_1 \cos \omega x + C_2 \sin \omega x$ является решением дифференциального уравнения $y'' + \omega^2 y = 0$, необходимо найти вторую производную $y''$ и подставить её вместе с самой функцией $y$ в исходное уравнение.

Дана функция:
$y = C_1 \cos \omega x + C_2 \sin \omega x$

Найдем первую производную $y'$ по переменной $x$, используя правила дифференцирования суммы и сложной функции:
$y' = \frac{d}{dx}(C_1 \cos \omega x + C_2 \sin \omega x) = C_1 \frac{d}{dx}(\cos \omega x) + C_2 \frac{d}{dx}(\sin \omega x)$
$y' = C_1 (-\sin \omega x \cdot \omega) + C_2 (\cos \omega x \cdot \omega) = -\omega C_1 \sin \omega x + \omega C_2 \cos \omega x$

Теперь найдем вторую производную $y''$ по переменной $x$, продифференцировав $y'$:
$y'' = \frac{d}{dx}(-\omega C_1 \sin \omega x + \omega C_2 \cos \omega x) = -\omega C_1 \frac{d}{dx}(\sin \omega x) + \omega C_2 \frac{d}{dx}(\cos \omega x)$
$y'' = -\omega C_1 (\cos \omega x \cdot \omega) + \omega C_2 (-\sin \omega x \cdot \omega) = -\omega^2 C_1 \cos \omega x - \omega^2 C_2 \sin \omega x$

Подставим найденные выражения для $y$ и $y''$ в левую часть дифференциального уравнения $y'' + \omega^2 y = 0$:
$y'' + \omega^2 y = (-\omega^2 C_1 \cos \omega x - \omega^2 C_2 \sin \omega x) + \omega^2 (C_1 \cos \omega x + C_2 \sin \omega x)$

Раскроем скобки и упростим полученное выражение:
$-\omega^2 C_1 \cos \omega x - \omega^2 C_2 \sin \omega x + \omega^2 C_1 \cos \omega x + \omega^2 C_2 \sin \omega x$
Сгруппируем подобные слагаемые:
$(-\omega^2 C_1 \cos \omega x + \omega^2 C_1 \cos \omega x) + (-\omega^2 C_2 \sin \omega x + \omega^2 C_2 \sin \omega x) = 0 + 0 = 0$

В результате мы получили тождество $0 = 0$, которое справедливо для любых постоянных $C_1$ и $C_2$. Это доказывает, что данная функция является решением указанного дифференциального уравнения.

Ответ: Показано, что функция $y = C_1 \cos \omega x + C_2 \sin \omega x$ является решением дифференциального уравнения $y'' + \omega^2 y = 0$ путем прямой подстановки функции и ее второй производной в уравнение, что привело к верному тождеству $0=0$.