Номер 1030, страница 314 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 10. Интеграл. Параграф 59. Применение производной и интеграла к решению практических задач - номер 1030, страница 314.

Условие.

1030 Масса радия, равная $1 \text{ г}$, через 10 лет уменьшилась до $0,999 \text{ г}$. Через сколько лет масса радия уменьшится до $0,5 \text{ г}$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Процесс радиоактивного распада описывается законом экспоненциального убывания. Масса вещества $M$ в момент времени $t$ выражается формулой: $M(t) = M_0 \cdot e^{-\lambda t}$, где $M_0$ — начальная масса вещества, $\lambda$ — постоянная распада, а $t$ — время.

Согласно условию, начальная масса радия $M_0 = 1$ г. Через $t_1 = 10$ лет масса уменьшилась до $M(10) = 0,999$ г. Подставим эти данные в формулу:

$0,999 = 1 \cdot e^{-\lambda \cdot 10} \implies e^{-10\lambda} = 0,999$

Нам необходимо найти время $t_2$, за которое масса радия уменьшится до $M(t_2) = 0,5$ г. Для этого момента времени уравнение будет выглядеть так:

$0,5 = 1 \cdot e^{-\lambda t_2} \implies e^{-\lambda t_2} = 0,5$

Теперь у нас есть система из двух уравнений. Прологарифмируем оба уравнения (возьмем натуральный логарифм, $\ln$):

1) $\ln(e^{-10\lambda}) = \ln(0,999) \implies -10\lambda = \ln(0,999)$

2) $\ln(e^{-\lambda t_2}) = \ln(0,5) \implies -\lambda t_2 = \ln(0,5)$

Из первого уравнения можно выразить постоянную распада $\lambda = -\frac{\ln(0,999)}{10}$. Из второго уравнения выразим искомое время $t_2 = -\frac{\ln(0,5)}{\lambda}$.

Подставим выражение для $\lambda$ из первого уравнения во второе:

$t_2 = - \frac{\ln(0,5)}{-\frac{\ln(0,999)}{10}} = 10 \cdot \frac{\ln(0,5)}{\ln(0,999)}$

Для вычисления воспользуемся калькулятором для нахождения значений логарифмов:

$\ln(0,5) \approx -0,693147$

$\ln(0,999) \approx -0,0010005$

Тогда:

$t_2 \approx 10 \cdot \frac{-0,693147}{-0,0010005} \approx 10 \cdot 692,80 \approx 6928$ лет.

Ответ: примерно через 6928 лет.