Номер 1045, страница 319 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 11. Комбинаторика. Параграф 60. Правило произведения - номер 1045, страница 319.

Условие.

1045 Сколько различных трёхзначных чисел, не имеющих одинаковых цифр, можно записать с помощью цифр:

1) 3, 4 и 5;

2) 7, 8 и 9;

3) 5, 6, 7 и 8;

4) 1, 2, 3 и 4?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для составления трёхзначного числа из цифр 3, 4 и 5, не имеющего одинаковых цифр, мы должны использовать каждую цифру ровно один раз. Это задача на нахождение числа перестановок.
На место сотен можно поставить любую из трёх цифр (3 варианта).
После выбора цифры для сотен, на место десятков останется две цифры (2 варианта).
На место единиц останется последняя неиспользованная цифра (1 вариант).
Общее количество различных чисел равно произведению числа вариантов для каждой позиции: $3 \times 2 \times 1 = 6$.
Это также можно вычислить по формуле числа перестановок из 3 элементов: $P_3 = 3! = 6$.
Ответ: 6

2) Для цифр 7, 8 и 9 задача полностью аналогична предыдущей. Мы имеем 3 различные цифры и должны составить из них трёхзначные числа без повторений.
Количество вариантов для сотен — 3.
Количество вариантов для десятков — 2.
Количество вариантов для единиц — 1.
Общее количество чисел: $3 \times 2 \times 1 = 6$.
Или по формуле перестановок: $P_3 = 3! = 6$.
Ответ: 6

3) В этом случае даны четыре различные цифры: 5, 6, 7 и 8. Нужно составить из них трёхзначные числа, в которых цифры не повторяются. Это задача на нахождение числа размещений без повторений.
На место сотен можно выбрать любую из четырёх цифр (4 варианта).
После этого на место десятков можно выбрать любую из трёх оставшихся цифр (3 варианта).
На место единиц можно выбрать любую из двух оставшихся цифр (2 варианта).
Общее количество различных чисел: $4 \times 3 \times 2 = 24$.
Это соответствует формуле размещений из $n$ элементов по $k$: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$. В нашем случае $n=4$, $k=3$.
$A_4^3 = \frac{4!}{(4-3)!} = \frac{4!}{1!} = 4 \times 3 \times 2 = 24$.
Ответ: 24

4) Даны четыре цифры: 1, 2, 3 и 4. Условия задачи аналогичны пункту 3. Нужно найти количество трёхзначных чисел без повторяющихся цифр.
Количество вариантов для сотен — 4.
Количество вариантов для десятков — 3.
Количество вариантов для единиц — 2.
Общее количество возможных чисел: $4 \times 3 \times 2 = 24$.
Используя формулу размещений из 4 по 3: $A_4^3 = \frac{4!}{(4-3)!} = 24$.
Ответ: 24