Номер 1043, страница 318 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 11. Комбинаторика. Параграф 60. Правило произведения - номер 1043, страница 318.

Условие.

1043 Сколько различных двузначных чисел с разными цифрами можно записать, используя цифры:

1) 1, 2 и 3;

2) 4, 5 и 6;

3) 5, 6, 7 и 8;

4) 6, 7, 8 и 9;

5) 0, 2, 4 и 6;

6) 0, 3, 5 и 7?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) 1, 2 и 3;

Для составления двузначного числа с разными цифрами из набора {1, 2, 3} необходимо выбрать цифру для разряда десятков и цифру для разряда единиц.
На место первой цифры (десятки) можно поставить любую из трёх данных цифр (1, 2 или 3). Таким образом, есть 3 варианта.
После выбора первой цифры, для второй цифры (единицы) остаётся $3-1=2$ варианта, так как цифры должны быть разными.
Общее количество различных чисел находится по правилу произведения: $3 \times 2 = 6$.
Это также можно рассчитать по формуле размещений без повторений $A_n^k$, где $n$ — количество доступных элементов, а $k$ — количество позиций. В данном случае $n=3$, $k=2$: $A_3^2 = 3 \times 2 = 6$.
Возможные числа: 12, 13, 21, 23, 31, 32.
Ответ: 6

2) 4, 5 и 6;

Используем цифры {4, 5, 6}.
На место десятков можно выбрать любую из 3-х цифр.
На место единиц можно выбрать любую из оставшихся 2-х цифр.
Общее количество комбинаций: $3 \times 2 = 6$.
Возможные числа: 45, 46, 54, 56, 64, 65.
Ответ: 6

3) 5, 6, 7 и 8;

Используем набор из четырёх цифр: {5, 6, 7, 8}.
Для выбора первой цифры (десятки) есть 4 варианта.
Для выбора второй цифры (единицы) остаётся $4-1=3$ варианта.
Общее количество различных двузначных чисел: $4 \times 3 = 12$.
По формуле размещений: $A_4^2 = 4 \times 3 = 12$.
Ответ: 12

4) 6, 7, 8 и 9;

Используем набор из четырёх цифр: {6, 7, 8, 9}.
На позицию десятков можно поставить любую из 4-х цифр.
На позицию единиц можно поставить любую из оставшихся 3-х цифр.
Всего можно составить: $4 \times 3 = 12$ чисел.
По формуле размещений: $A_4^2 = 4 \times 3 = 12$.
Ответ: 12

5) 0, 2, 4 и 6;

Используем набор цифр {0, 2, 4, 6}.
При составлении двузначного числа важно учесть, что первая цифра (десятки) не может быть нулём.
Следовательно, на место первой цифры мы можем выбрать любую из трёх цифр {2, 4, 6}. У нас есть 3 варианта.
На место второй цифры (единицы) мы можем поставить любую из оставшихся цифр. После выбора первой цифры у нас осталось 3 цифры (включая 0). Например, если мы выбрали 2 для десятков, для единиц остаются {0, 4, 6}.
Таким образом, для второй цифры у нас также есть 3 варианта.
Общее количество чисел: $3 \times 3 = 9$.
Возможные числа: 20, 24, 26, 40, 42, 46, 60, 62, 64.
Ответ: 9

6) 0, 3, 5 и 7?

Используем набор цифр {0, 3, 5, 7}.
Первая цифра двузначного числа (десятки) не может быть 0. Значит, для первой цифры у нас есть 3 варианта: {3, 5, 7}.
Вторую цифру (единицы) мы можем выбрать из оставшихся трёх цифр. Например, если первая цифра 3, то вторая может быть 0, 5 или 7. То есть, для второй цифры у нас тоже 3 варианта.
Всего можно составить: $3 \times 3 = 9$ чисел.
Возможные числа: 30, 35, 37, 50, 53, 57, 70, 73, 75.
Ответ: 9