Номер 1049, страница 319 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 11. Комбинаторика. Параграф 60. Правило произведения - номер 1049, страница 319.

Условие.

1049 Сколькими способами могут распределиться золотая и серебряная медали на чемпионате по футболу, если в нём принимают участие:

1) 32 команды;

2) 16 команд?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения этой задачи используется основной принцип комбинаторики — правило умножения. Нам необходимо определить количество способов, которыми можно выбрать две команды из общего числа участников и вручить им по одной медали (золотой и серебряной). Так как порядок важен (команда, получившая золотую медаль, и команда, получившая серебряную, — это разные исходы), мы имеем дело с размещениями.

1) 32 команды

Пусть в чемпионате участвуют 32 команды.

Золотую медаль может получить любая из 32 команд. Таким образом, есть 32 варианта для победителя.

После того, как обладатель золотой медали определен, остается 31 команда, любая из которых может получить серебряную медаль. Таким образом, есть 31 вариант для серебряного призера.

Чтобы найти общее число способов распределения медалей, нужно перемножить количество вариантов для каждой медали:
$32 \cdot 31 = 992$

Это также можно рассчитать по формуле размещений без повторений из n по k ($A_n^k$), где n=32 и k=2:
$A_{32}^2 = \frac{32!}{(32-2)!} = 32 \cdot 31 = 992$

Ответ: 992 способа.

2) 16 команд

Пусть в чемпионате участвуют 16 команд. Рассуждения аналогичны первому пункту.

Золотую медаль может получить любая из 16 команд (16 вариантов).

Серебряную медаль может получить любая из оставшихся 15 команд (15 вариантов).

Общее число способов равно произведению этих вариантов:
$16 \cdot 15 = 240$

По формуле размещений, где n=16 и k=2:
$A_{16}^2 = \frac{16!}{(16-2)!} = 16 \cdot 15 = 240$

Ответ: 240 способов.