Номер 1053, страница 319 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 11. Комбинаторика. Параграф 60. Правило произведения - номер 1053, страница 319.

Условие.

1053 В классе 18 учащихся. Из их числа нужно выбрать физорга, культорга и казначея. Сколькими способами это можно сделать, если один ученик может занимать не более одной должности?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Эта задача решается с помощью методов комбинаторики. Нам нужно выбрать 3 учеников из 18 на 3 различные должности. Поскольку должности (физорг, культорг, казначей) различны, порядок выбора важен. Следовательно, мы имеем дело с размещениями.

Рассуждать можно следующим образом:

1. На должность физорга можно выбрать любого из 18 учеников. Есть 18 вариантов.

2. После того как физорг выбран, на должность культорга претендуют оставшиеся 17 учеников (по условию, один ученик не может занимать более одной должности). Таким образом, есть 17 вариантов.

3. Для выбора казначея остаются 16 учеников. Следовательно, есть 16 вариантов.

Чтобы найти общее число способов, нужно перемножить число вариантов на каждом шаге (согласно правилу произведения):

$18 \times 17 \times 16 = 4896$

Формально, это число размещений из 18 элементов по 3, которое вычисляется по формуле:

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

Где $n=18$ (общее количество учеников), а $k=3$ (количество должностей).

$A_{18}^3 = \frac{18!}{(18-3)!} = \frac{18!}{15!} = \frac{18 \times 17 \times 16 \times 15!}{15!} = 18 \times 17 \times 16 = 4896$

Ответ: 4896