Номер 1058, страница 320 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 11. Комбинаторика. Параграф 60. Правило произведения - номер 1058, страница 320.

Условие.

1058 Сколько нечётных:

1) трёхзначных;

2) четырёхзначных чисел можно записать с помощью цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, если любую из них можно использовать в записи числа не более одного раза?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для того чтобы составить нечётное трёхзначное число из набора цифр {0, 1, 2, 3, 4, 5} без их повторения, необходимо определить количество возможных вариантов для каждой позиции в числе (сотни, десятки, единицы), учитывая следующие ограничения:

- Число должно быть нечётным, а значит, его последняя цифра должна быть нечётной. В данном наборе это цифры {1, 3, 5}.

- Число должно быть трёхзначным, следовательно, его первая цифра не может быть нулём.

- Все цифры в числе должны быть различны.

Применим комбинаторное правило произведения, начиная расстановку с позиций, имеющих наибольшие ограничения.

1. Выбор последней цифры (разряд единиц): Чтобы число было нечётным, на этой позиции должна стоять одна из трёх цифр: 1, 3 или 5. Таким образом, у нас есть 3 варианта.

2. Выбор первой цифры (разряд сотен): Эта цифра не может быть 0 и не может быть той, что уже выбрана для разряда единиц. Из 6 исходных цифр одна уже занята. Из оставшихся 5 цифр мы не можем использовать 0. Следовательно, количество вариантов для первой цифры равно $5 - 1 = 4$.

3. Выбор второй цифры (разряд десятков): На данный момент две различные цифры уже использованы (первая и последняя). Из 6 исходных цифр осталось $6 - 2 = 4$ свободных цифры. Любая из них подходит. Значит, у нас 4 варианта.

Общее количество возможных нечётных трёхзначных чисел равно произведению количества вариантов для каждой позиции:

$3 \times 4 \times 4 = 48$

Ответ: 48.

2) Аналогично найдём количество нечётных четырёхзначных чисел, которые можно составить из тех же цифр {0, 1, 2, 3, 4, 5} без повторений.

1. Выбор последней цифры (разряд единиц): Для нечётности числа по-прежнему есть 3 варианта (1, 3 или 5).

2. Выбор первой цифры (разряд тысяч): Она не может быть 0 и не может совпадать с уже выбранной последней цифрой. Из 5 оставшихся после выбора последней цифры, исключаем 0. Остаётся $5 - 1 = 4$ варианта.

3. Выбор второй цифры (разряд сотен): Две цифры (первая и последняя) уже заняты. Из 6 исходных цифр осталось $6 - 2 = 4$. Значит, 4 варианта.

4. Выбор третьей цифры (разряд десятков): Три цифры уже использованы. Из 6 исходных осталось $6 - 3 = 3$. Значит, 3 варианта.

Общее количество таких четырёхзначных чисел равно произведению вариантов для каждой позиции:

$3 \times 4 \times 4 \times 3 = 144$

Ответ: 144.