Номер 1054, страница 319 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 11. Комбинаторика. Параграф 60. Правило произведения - номер 1054, страница 319.

Условие.

1054 В классе 20 учащихся. Необходимо назначить по одному дежурному в столовую, вестибюль и спортивный зал. Сколькими способами это можно сделать?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения этой задачи необходимо определить количество способов выбрать 3-х человек из 20 и назначить их на 3 разные должности (дежурный в столовой, в вестибюле и в спортзале). Поскольку должности разные, порядок выбора учеников важен. Например, если ученик Иванов дежурит в столовой, а Петров — в вестибюле, это не то же самое, что Петров дежурит в столовой, а Иванов — в вестибюле. Такие упорядоченные выборки в комбинаторике называются размещениями.

Задачу можно решить, рассуждая последовательно и используя правило произведения.

1. На первую должность, дежурного в столовую, можно выбрать любого из 20 учащихся. Таким образом, у нас есть 20 вариантов.

2. После того, как один учащийся уже назначен, на вторую должность, дежурного в вестибюль, остается 19 кандидатов. Следовательно, есть 19 вариантов.

3. Наконец, для третьей должности, дежурного в спортзале, остается 18 учащихся. Значит, есть 18 вариантов.

Общее количество способов является произведением числа вариантов для каждой должности:

$20 \times 19 \times 18 = 380 \times 18 = 6840$

Также эту задачу можно решить, используя формулу для числа размещений из $n$ элементов по $k$:

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

В данном случае общее число учащихся $n = 20$, а количество должностей $k = 3$. Подставляем значения в формулу:

$A_{20}^3 = \frac{20!}{(20-3)!} = \frac{20!}{17!} = 20 \times 19 \times 18 = 6840$

Ответ: 6840