Номер 1056, страница 320 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 11. Комбинаторика. Параграф 60. Правило произведения - номер 1056, страница 320.

Условие.

1056 Сколько существует пятизначных чисел, в которых все цифры, стоящие на нечётных местах, различны?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Пятизначное число состоит из 5 цифр. Обозначим его как $d_1d_2d_3d_4d_5$. Нечётными позициями в этом числе являются первая, третья и пятая. Чётными — вторая и четвёртая.

По условию задачи, все цифры, стоящие на нечётных местах ($d_1, d_3, d_5$), должны быть различны. На цифры, стоящие на чётных местах ($d_2, d_4$), никаких ограничений, кроме того, что они являются цифрами, не накладывается.

Для нахождения общего количества таких чисел воспользуемся правилом произведения в комбинаторике, последовательно определяя количество вариантов для каждой позиции.

1. Выбор цифр для нечётных позиций.

Нам нужно выбрать три различные цифры для позиций $d_1$, $d_3$ и $d_5$, учитывая, что первая цифра числа не может быть нулём.

• Первая цифра ($d_1$): Так как число пятизначное, оно не может начинаться с нуля. Значит, для $d_1$ есть 9 вариантов выбора (любая цифра от 1 до 9).
• Третья цифра ($d_3$): Эта цифра должна отличаться от $d_1$. Она может быть любой из 10 цифр (от 0 до 9), кроме той, что уже использована для $d_1$. Таким образом, для $d_3$ остаётся $10 - 1 = 9$ вариантов.
• Пятая цифра ($d_5$): Эта цифра должна отличаться и от $d_1$, и от $d_3$. Так как для $d_1$ и $d_3$ уже использованы две различные цифры, для $d_5$ остаётся $10 - 2 = 8$ вариантов.

Количество способов выбрать цифры для нечётных позиций равно произведению числа вариантов для каждой из них: $N_{нечёт} = 9 \times 9 \times 8 = 648$.

2. Выбор цифр для чётных позиций.

На цифры в чётных позициях ($d_2, d_4$) нет никаких ограничений.

• Вторая цифра ($d_2$): Может быть любой из 10 цифр (от 0 до 9). Следовательно, для $d_2$ существует 10 вариантов.
• Четвёртая цифра ($d_4$): Также может быть любой из 10 цифр (от 0 до 9). Следовательно, для $d_4$ существует 10 вариантов.

Количество способов выбрать цифры для чётных позиций: $N_{чёт} = 10 \times 10 = 100$.

3. Общее количество чисел.

Чтобы найти общее количество искомых пятизначных чисел, нужно перемножить количество вариантов для нечётных и чётных позиций: $N_{общ} = N_{нечёт} \times N_{чёт} = 648 \times 100 = 64800$.

Ответ: 64800