Номер 1057, страница 320 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 11. Комбинаторика. Параграф 60. Правило произведения - номер 1057, страница 320.

Условие.

1057 Сколько существует шестизначных чисел, в которых все цифры, стоящие на чётных местах, различны?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения этой задачи воспользуемся правилом произведения из комбинаторики. Шестизначное число можно представить в виде $d_1 d_2 d_3 d_4 d_5 d_6$, где $d_i$ — это цифра на $i$-й позиции.

Позиции в числе нумеруются слева направо. Таким образом, нечётные места — это 1-е, 3-е и 5-е, а чётные места — это 2-е, 4-е и 6-е.

Рассчитаем количество возможных вариантов для цифр на нечётных и чётных местах по отдельности.

1. Количество способов заполнить нечётные места (1, 3, 5):

- На первом месте ($d_1$) может стоять любая цифра от 1 до 9, так как число шестизначное и не может начинаться с нуля. Всего 9 вариантов.

- На третьем месте ($d_3$) может стоять любая из 10 цифр (от 0 до 9), так как на неё нет никаких ограничений. Всего 10 вариантов.

- На пятом месте ($d_5$) также может стоять любая из 10 цифр. Всего 10 вариантов.

Общее количество способов заполнить все нечётные места равно произведению вариантов для каждой из этих позиций: $N_{нечёт} = 9 \times 10 \times 10 = 900$.

2. Количество способов заполнить чётные места (2, 4, 6):

По условию, все цифры, стоящие на чётных местах ($d_2, d_4, d_6$), должны быть различны.

- На втором месте ($d_2$) может стоять любая из 10 цифр. Всего 10 вариантов.

- На четвёртом месте ($d_4$) может стоять любая цифра, кроме той, что уже стоит на втором месте. Таким образом, остаётся $10 - 1 = 9$ вариантов.

- На шестом месте ($d_6$) может стоять любая цифра, кроме тех, что уже стоят на втором и четвёртом местах. Так как цифры на втором и четвёртом местах различны, остаётся $10 - 2 = 8$ вариантов.

Количество способов заполнить все чётные места — это число размещений без повторений из 10 элементов по 3, которое вычисляется как произведение вариантов: $N_{чёт} = A_{10}^3 = 10 \times 9 \times 8 = 720$.

3. Общее количество чисел:

Чтобы найти общее количество таких шестизначных чисел, нужно перемножить количество способов заполнения нечётных мест и количество способов заполнения чётных мест, так как выбор цифр для этих двух групп мест независим.

$N_{общ} = N_{нечёт} \times N_{чёт} = 900 \times 720 = 648000$.

Ответ: 648000.