Номер 1064, страница 322 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 11. Комбинаторика. Параграф 61. Перестановки - номер 1064, страница 322.

Условие.

1064 Упростить форму записи выражений (полагая, что $k$ — натуральное число, $k > 4$):

1) $6! \cdot 7;$

2) $10! \cdot 11;$

3) $15 \cdot 14!;$

4) $12 \cdot 11!;$

5) $k! (k + 1);$

6) $(k - 1)! k;$

7) $(k - 1)! k (k + 1);$

8) $(k - 2)! (k - 1) \cdot k;$

9) $(k - 4)! (k^2 - 5k + 6);$

10) $(k - 3)! (k^2 - 3k + 2).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) По определению факториала $n! = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot (n-1) \cdot n$. Из этого определения следует свойство: $n! = (n-1)! \cdot n$.
В выражении $6! \cdot 7$ мы видим произведение факториала числа 6 на следующее за ним число 7. Применяя указанное свойство для $n=7$, получаем:
$7! = (7-1)! \cdot 7 = 6! \cdot 7$.
Таким образом, исходное выражение равно $7!$.
Ответ: $7!$

2) Аналогично предыдущему пункту, для выражения $10! \cdot 11$ воспользуемся свойством $n! = (n-1)! \cdot n$ при $n=11$:
$11! = (11-1)! \cdot 11 = 10! \cdot 11$.
Следовательно, $10! \cdot 11 = 11!$.
Ответ: $11!$

3) Выражение $15 \cdot 14!$ эквивалентно $14! \cdot 15$. Используя свойство $n! = (n-1)! \cdot n$ для $n=15$, получаем:
$15! = (15-1)! \cdot 15 = 14! \cdot 15$.
Следовательно, $15 \cdot 14! = 15!$.
Ответ: $15!$

4) Выражение $12 \cdot 11!$ эквивалентно $11! \cdot 12$. Используя свойство $n! = (n-1)! \cdot n$ для $n=12$, получаем:
$12! = (12-1)! \cdot 12 = 11! \cdot 12$.
Следовательно, $12 \cdot 11! = 12!$.
Ответ: $12!$

5) В выражении $k! (k + 1)$ мы имеем произведение факториала натурального числа $k$ на следующее за ним число $k+1$. Это является обобщением предыдущих примеров. Применим свойство $n! = (n-1)! \cdot n$ для $n=k+1$:
$(k+1)! = ((k+1)-1)! \cdot (k+1) = k! \cdot (k+1)$.
Таким образом, $k! (k+1) = (k+1)!$.
Ответ: $(k+1)!$

6) В выражении $(k-1)! \cdot k$ мы имеем произведение факториала числа $k-1$ на следующее за ним число $k$. По определению факториала, это равно $k!$.
Формально, используя свойство $n! = (n-1)! \cdot n$ для $n=k$:
$k! = (k-1)! \cdot k$.
Ответ: $k!$

7) Упростим выражение $(k-1)! \cdot k \cdot (k+1)$ пошагово. Сначала сгруппируем первые два множителя:
$(k-1)! \cdot k = k!$.
Теперь выражение принимает вид $k! \cdot (k+1)$.
Далее, как мы видели в пункте 5, $k! \cdot (k+1) = (k+1)!$.
Следовательно, $(k-1)! \cdot k \cdot (k+1) = (k+1)!$.
Ответ: $(k+1)!$

8) Упростим выражение $(k-2)! \cdot (k-1) \cdot k$ пошагово. Сгруппируем первые два множителя:
$(k-2)! \cdot (k-1) = (k-1)!$.
Теперь выражение принимает вид $(k-1)! \cdot k$.
Как мы видели в пункте 6, $(k-1)! \cdot k = k!$.
Следовательно, $(k-2)! \cdot (k-1) \cdot k = k!$.
Ответ: $k!$

9) Рассмотрим выражение $(k-4)! \cdot (k^2 - 5k + 6)$. Сначала разложим квадратный трехчлен $k^2 - 5k + 6$ на множители. Для этого решим уравнение $k^2 - 5k + 6 = 0$. По теореме Виета, корни уравнения равны $k_1=2$ и $k_2=3$.
Следовательно, $k^2 - 5k + 6 = (k-2)(k-3)$.
Подставим это в исходное выражение: $(k-4)! \cdot (k-3) \cdot (k-2)$.
Теперь последовательно "сворачиваем" факториал:
$(k-4)! \cdot (k-3) = (k-3)!$.
Выражение становится $(k-3)! \cdot (k-2)$.
Наконец, $(k-3)! \cdot (k-2) = (k-2)!$.
Ответ: $(k-2)!$

10) Рассмотрим выражение $(k-3)! \cdot (k^2 - 3k + 2)$. Сначала разложим квадратный трехчлен $k^2 - 3k + 2$ на множители. Решим уравнение $k^2 - 3k + 2 = 0$. По теореме Виета, корни уравнения равны $k_1=1$ и $k_2=2$.
Следовательно, $k^2 - 3k + 2 = (k-1)(k-2)$.
Подставим это в исходное выражение: $(k-3)! \cdot (k-2) \cdot (k-1)$.
Теперь последовательно "сворачиваем" факториал:
$(k-3)! \cdot (k-2) = (k-2)!$.
Выражение становится $(k-2)! \cdot (k-1)$.
Наконец, $(k-2)! \cdot (k-1) = (k-1)!$.
Ответ: $(k-1)!$