Номер 1070, страница 322 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 11. Комбинаторика. Параграф 61. Перестановки - номер 1070, страница 322.

Условие.

1070 Сколько различных шестизначных чисел, не содержащих одинаковых цифр и кратных 4, можно записать с помощью цифр 1, 3, 5, 6, 7 и 9?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения этой задачи необходимо последовательно применить условия, которым должно удовлетворять искомое число. У нас есть набор из шести различных цифр {1, 3, 5, 6, 7, 9}, и нам нужно составить из них шестизначное число. Это означает, что каждая цифра из набора будет использована ровно один раз.

Главное условие — число должно быть кратно 4. Согласно признаку делимости на 4, число делится на 4 в том и только в том случае, если число, образованное двумя его последними цифрами, делится на 4.

Следовательно, нам нужно найти все возможные двузначные комбинации из заданных цифр, которые делятся на 4. В наборе {1, 3, 5, 6, 7, 9} есть только одна четная цифра — 6. Для того чтобы число было четным (а значит, имело возможность делиться на 4), оно должно оканчиваться на четную цифру. Таким образом, последняя цифра нашего шестизначного числа может быть только 6.

Теперь рассмотрим предпоследнюю цифру. Она должна быть выбрана из оставшихся цифр {1, 3, 5, 7, 9}. Проверим все возможные двузначные окончания, которые оканчиваются на 6:

16: $16 \div 4 = 4$. Подходит.
36: $36 \div 4 = 9$. Подходит.
56: $56 \div 4 = 14$. Подходит.
76: $76 \div 4 = 19$. Подходит.
96: $96 \div 4 = 24$. Подходит.

Таким образом, у нас есть 5 возможных вариантов для двух последних цифр числа (16, 36, 56, 76, 96).

Для каждого из этих 5 вариантов мы зафиксировали две последние цифры. Оставшиеся четыре цифры (из шести исходных) нужно разместить на первых четырех позициях. Количество способов, которыми можно расположить 4 различных элемента на 4 местах, равно числу перестановок из 4, которое обозначается как $P_4$ и вычисляется по формуле $n!$.

Число перестановок для оставшихся четырех цифр равно:$P_4 = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.

Это значит, что для каждого из 5 подходящих окончаний существует 24 различных способа расставить первые четыре цифры. Чтобы найти общее количество таких шестизначных чисел, необходимо умножить количество вариантов окончаний на количество перестановок для оставшихся цифр.

Общее количество чисел = $5 \times 24 = 120$.

Ответ: 120