Номер 1072, страница 325 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 11. Комбинаторика. Параграф 62. Размещения - номер 1072, страница 325.

Условие.

1072 Вычислить:

1) $A_4^1$;

2) $A_5^1$;

3) $A_5^2$;

4) $A_4^2$;

5) $A_7^7$;

6) $A_6^6$;

7) $A_{10}^3$;

8) $A_8^3$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для вычисления числа размещений из $n$ элементов по $k$, которое обозначается $A_n^k$, используется формула:

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} = n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot (n-k+1)$

где $n!$ (n-факториал) — это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$. По определению, $0! = 1$.

1) Вычислим $A_4^1$. Здесь $n=4$ и $k=1$. Это количество способов выбрать и разместить 1 элемент из 4-х.
$A_4^1 = \frac{4!}{(4-1)!} = \frac{4!}{3!} = 4$.
Ответ: 4.

2) Вычислим $A_5^1$. Здесь $n=5$ и $k=1$. Это количество способов выбрать и разместить 1 элемент из 5-ти.
$A_5^1 = \frac{5!}{(5-1)!} = \frac{5!}{4!} = 5$.
Ответ: 5.

3) Вычислим $A_5^2$. Здесь $n=5$ и $k=2$.
$A_5^2 = \frac{5!}{(5-2)!} = \frac{5!}{3!} = 5 \cdot 4 = 20$.
Ответ: 20.

4) Вычислим $A_4^2$. Здесь $n=4$ и $k=2$.
$A_4^2 = \frac{4!}{(4-2)!} = \frac{4!}{2!} = 4 \cdot 3 = 12$.
Ответ: 12.

5) Вычислим $A_7^7$. Здесь $n=7$ и $k=7$. В этом случае число размещений равно числу перестановок из 7 элементов ($P_7$).
$A_7^7 = \frac{7!}{(7-7)!} = \frac{7!}{0!} = 7! = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 5040$.
Ответ: 5040.

6) Вычислим $A_6^6$. Здесь $n=6$ и $k=6$. Это число перестановок из 6 элементов ($P_6$).
$A_6^6 = \frac{6!}{(6-6)!} = \frac{6!}{0!} = 6! = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 720$.
Ответ: 720.

7) Вычислим $A_{10}^3$. Здесь $n=10$ и $k=3$.
$A_{10}^3 = \frac{10!}{(10-3)!} = \frac{10!}{7!} = 10 \cdot 9 \cdot 8 = 720$.
Ответ: 720.

8) Вычислим $A_8^3$. Здесь $n=8$ и $k=3$.
$A_8^3 = \frac{8!}{(8-3)!} = \frac{8!}{5!} = 8 \cdot 7 \cdot 6 = 336$.
Ответ: 336.