Номер 1078, страница 326 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 11. Комбинаторика. Параграф 62. Размещения - номер 1078, страница 326.

Условие.

1078 Упростить выражение:

1) $ \frac{A_9^n \cdot P_{10-n}}{P_8} $, где $n \leq 9; $

2) $ \frac{P_{12}}{A_{13}^n \cdot P_{14-n}} $, где $n \leq 13. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для упрощения выражения $\frac{A_9^n \cdot P_{10-n}}{P_8}$ воспользуемся определениями числа размещений и числа перестановок.

Число размещений из $k$ элементов по $n$ определяется формулой $A_k^n = \frac{k!}{(k-n)!}$.

Число перестановок из $k$ элементов определяется формулой $P_k = k!$.

Подставим эти формулы в исходное выражение, учитывая, что $A_9^n = \frac{9!}{(9-n)!}$, $P_{10-n} = (10-n)!$ и $P_8 = 8!$:

$\frac{A_9^n \cdot P_{10-n}}{P_8} = \frac{\frac{9!}{(9-n)!} \cdot (10-n)!}{8!} = \frac{9! \cdot (10-n)!}{(9-n)! \cdot 8!}$

Теперь распишем факториалы $9!$ и $(10-n)!$ для сокращения дроби:

$9! = 9 \cdot 8!$

$(10-n)! = (10-n) \cdot (10-n-1)! = (10-n) \cdot (9-n)!$

Подставим разложенные факториалы обратно в выражение:

$\frac{(9 \cdot 8!) \cdot ((10-n) \cdot (9-n)!)}{(9-n)! \cdot 8!}$

Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе ($8!$ и $(9-n)!$):

$\frac{9 \cdot \cancel{8!} \cdot (10-n) \cdot \cancel{(9-n)!}}{\cancel{(9-n)!} \cdot \cancel{8!}} = 9 \cdot (10-n) = 90 - 9n$

Ответ: $90 - 9n$.

2) Для упрощения выражения $\frac{P_{12}}{A_{13}^n \cdot P_{14-n}}$ также воспользуемся определениями числа размещений и числа перестановок.

Подставим формулы для $P_{12}$, $A_{13}^n$ и $P_{14-n}$ в исходное выражение:

$P_{12} = 12!$

$A_{13}^n = \frac{13!}{(13-n)!}$

$P_{14-n} = (14-n)!$

Получаем:

$\frac{P_{12}}{A_{13}^n \cdot P_{14-n}} = \frac{12!}{\frac{13!}{(13-n)!} \cdot (14-n)!}$

Упростим полученную многоэтажную дробь, переместив знаменатель дроби из знаменателя в числитель:

$\frac{12! \cdot (13-n)!}{13! \cdot (14-n)!}$

Теперь распишем факториалы с большими числами ($13!$ и $(14-n)!$) через факториалы с меньшими числами для их сокращения:

$13! = 13 \cdot 12!$

$(14-n)! = (14-n) \cdot (14-n-1)! = (14-n) \cdot (13-n)!$

Подставим разложенные факториалы в выражение:

$\frac{12! \cdot (13-n)!}{(13 \cdot 12!) \cdot ((14-n) \cdot (13-n)!)}$

Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе ($12!$ и $(13-n)!$):

$\frac{\cancel{12!} \cdot \cancel{(13-n)!}}{13 \cdot \cancel{12!} \cdot (14-n) \cdot \cancel{(13-n)!}} = \frac{1}{13(14-n)}$

Ответ: $\frac{1}{13(14-n)}$.