Номер 1079, страница 326 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 11. Комбинаторика. Параграф 62. Размещения - номер 1079, страница 326.

Условие.

1079 В шахматном турнире участвуют:

1) 6 юношей и 2 девушки;

2) 5 юношей и 3 девушки.

Сколькими способами могут распределиться места среди девушек, если все участники турнира набирают разное количество очков.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) В шахматном турнире участвуют 6 юношей и 2 девушки. Общее количество участников равно $6 + 2 = 8$.

Поскольку все участники набирают разное количество очков, то все 8 мест в итоговой таблице различны. Нам нужно определить, сколькими способами могут распределиться места между 2 девушками среди 8 возможных мест.

Эта задача является задачей на размещения, так как важен не только набор занятых мест, но и какая из девушек какое конкретное место заняла. Количество способов разместить $k$ различных объектов по $n$ различным местам вычисляется по формуле для числа размещений:

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

В данном случае, общее число мест $n = 8$, а количество девушек $k = 2$.

Вычисляем количество способов:

$A_8^2 = \frac{8!}{(8-2)!} = \frac{8!}{6!} = 8 \times 7 = 56$

Таким образом, существует 56 способов распределения мест среди двух девушек.

Ответ: 56.

2) В этом случае в турнире участвуют 5 юношей и 3 девушки. Общее количество участников также равно $5 + 3 = 8$.

Условия задачи остаются прежними: все 8 мест различны. Теперь нам нужно определить, сколькими способами могут распределиться места между 3 девушками.

Используем ту же формулу для числа размещений $A_n^k$, где общее число мест $n = 8$, а количество девушек $k = 3$.

Вычисляем количество способов:

$A_8^3 = \frac{8!}{(8-3)!} = \frac{8!}{5!} = 8 \times 7 \times 6 = 336$

Следовательно, существует 336 способов распределения мест среди трех девушек.

Ответ: 336.