Номер 1082, страница 329 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 11. Комбинаторика. Параграф 63. Сочетания и их свойства - номер 1082, страница 329.

Условие.

1082 Сколько различных аккордов, содержащих:

1) 4 звука;

2) 3 звука, можно образовать из 12 клавиш одной октавы?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения этой задачи мы будем использовать комбинаторику. Аккорд представляет собой набор звуков, и порядок их выбора не имеет значения. Следовательно, мы имеем дело с сочетаниями. Число сочетаний из n элементов по k вычисляется по формуле:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В данной задаче общее количество клавиш в октаве, из которых мы выбираем, составляет n = 12.

1) 4 звука

Требуется найти количество аккордов, состоящих из 4 звуков. Это означает, что мы выбираем 4 клавиши из 12. Здесь k = 4.

Применим формулу для числа сочетаний:

$C_{12}^4 = \frac{12!}{4!(12-4)!} = \frac{12!}{4!8!}$

Распишем и вычислим:

$C_{12}^4 = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{11880}{24} = 495$

Таким образом, из 12 клавиш можно образовать 495 различных аккордов по 4 звука.

Ответ: 495.

2) 3 звука

Теперь найдем количество аккордов, состоящих из 3 звуков. В этом случае мы выбираем 3 клавиши из 12. Здесь k = 3.

Снова используем формулу для числа сочетаний:

$C_{12}^3 = \frac{12!}{3!(12-3)!} = \frac{12!}{3!9!}$

Распишем и вычислим:

$C_{12}^3 = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{1320}{6} = 220$

Следовательно, из 12 клавиш можно образовать 220 различных аккордов по 3 звука.

Ответ: 220.