Номер 1076, страница 326 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 11. Комбинаторика. Параграф 62. Размещения - номер 1076, страница 326.

Условие.

1076 Найти значение выражения:

1) $\frac{A_{15}^9 - A_{15}^8}{A_{15}^7}$;

2) $\frac{A_{18}^{10} + A_{18}^{11}}{A_{18}^9}$;

3) $\frac{A_9^4 \cdot A_4^4}{A_8^6}$;

4) $\frac{A_5^5 \cdot A_{10}^3}{A_9^7}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Для решения воспользуемся свойством числа размещений (arrangements): $A_n^k = (n-k+1)A_n^{k-1}$. Это свойство следует из определения $A_n^k = n(n-1)...(n-k+1)$.

Сначала преобразуем числитель дроби, выразив $A_{15}^9$ через $A_{15}^8$:

$A_{15}^9 = (15-9+1)A_{15}^8 = 7A_{15}^8$.

Тогда числитель равен:

$A_{15}^9 - A_{15}^8 = 7A_{15}^8 - A_{15}^8 = (7-1)A_{15}^8 = 6A_{15}^8$.

Теперь всё выражение имеет вид:

$\frac{6A_{15}^8}{A_{15}^7}$

Применим то же свойство к $A_{15}^8$:

$A_{15}^8 = (15-8+1)A_{15}^7 = 8A_{15}^7$.

Подставим это в наше выражение и выполним сокращение:

$\frac{6 \cdot 8A_{15}^7}{A_{15}^7} = 6 \cdot 8 = 48$.

Ответ: 48.

2)

Воспользуемся тем же свойством, что и в предыдущем пункте: $A_n^k = (n-k+1)A_n^{k-1}$.

Преобразуем числитель, выразив $A_{18}^{11}$ через $A_{18}^{10}$:

$A_{18}^{11} = (18-11+1)A_{18}^{10} = 8A_{18}^{10}$.

Тогда числитель равен:

$A_{18}^{10} + A_{18}^{11} = A_{18}^{10} + 8A_{18}^{10} = (1+8)A_{18}^{10} = 9A_{18}^{10}$.

Подставим это в исходное выражение:

$\frac{9A_{18}^{10}}{A_{18}^9}$

Теперь выразим $A_{18}^{10}$ через $A_{18}^9$:

$A_{18}^{10} = (18-10+1)A_{18}^9 = 9A_{18}^9$.

Подставим и получим конечный результат:

$\frac{9 \cdot 9A_{18}^9}{A_{18}^9} = 9 \cdot 9 = 81$.

Ответ: 81.

3)

Для решения этого примера воспользуемся определением числа размещений через факториалы: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.

Распишем каждый член выражения:

$A_9^4 = \frac{9!}{(9-4)!} = \frac{9!}{5!}$

$A_4^4 = \frac{4!}{(4-4)!} = \frac{4!}{0!} = 4!$ (по определению $0!=1$)

$A_8^6 = \frac{8!}{(8-6)!} = \frac{8!}{2!}$

Подставим полученные выражения в исходную дробь:

$\frac{A_9^4 \cdot A_4^4}{A_8^6} = \frac{\frac{9!}{5!} \cdot 4!}{\frac{8!}{2!}} = \frac{9! \cdot 4! \cdot 2!}{5! \cdot 8!}$.

Теперь сократим факториалы. Используем то, что $\frac{9!}{8!} = 9$ и $\frac{4!}{5!} = \frac{4!}{5 \cdot 4!} = \frac{1}{5}$:

$\frac{9 \cdot 4! \cdot 2!}{5!} = \frac{9 \cdot 1 \cdot 2!}{5} = \frac{9 \cdot 2}{5} = \frac{18}{5} = 3.6$.

Ответ: 3.6.

4)

Используем формулу для числа размещений через факториалы: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.

Распишем каждый член выражения:

$A_5^5 = \frac{5!}{(5-5)!} = \frac{5!}{0!} = 5!$

$A_{10}^3 = \frac{10!}{(10-3)!} = \frac{10!}{7!}$

$A_9^7 = \frac{9!}{(9-7)!} = \frac{9!}{2!}$

Подставим эти выражения в исходную дробь:

$\frac{A_5^5 \cdot A_{10}^3}{A_9^7} = \frac{5! \cdot \frac{10!}{7!}}{\frac{9!}{2!}} = \frac{5! \cdot 10! \cdot 2!}{7! \cdot 9!}$.

Сократим факториалы. Используем то, что $\frac{10!}{9!} = 10$ и $\frac{5!}{7!} = \frac{5!}{7 \cdot 6 \cdot 5!} = \frac{1}{42}$:

$\frac{5! \cdot 10 \cdot 9! \cdot 2!}{7 \cdot 6 \cdot 5! \cdot 9!} = \frac{10 \cdot 2!}{7 \cdot 6} = \frac{10 \cdot 2}{42} = \frac{20}{42} = \frac{10}{21}$.

Ответ: $\frac{10}{21}$.