Номер 1075, страница 326 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 11. Комбинаторика. Параграф 62. Размещения - номер 1075, страница 326.

Условие.

1075 В классе 20 человек. Сколькими способами из их числа можно сделать назначение:

1) физорга и культорга;

2) физорга, культорга и казначея?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Это задача по комбинаторике, в которой требуется найти число размещений без повторений. Размещения используются потому, что важен порядок выбора учеников (например, пара "Иванов — физорг, Петров — культорг" отличается от пары "Петров — физорг, Иванов — культорг"), и один человек не может занимать две должности одновременно.

Число размещений из $n$ элементов по $k$ вычисляется по формуле: $A_{n}^{k} = \frac{n!}{(n-k)!} = n \cdot (n-1) \cdot \dots \cdot (n-k+1)$.

1) физорга и культорга

В данном случае мы выбираем 2 человек на 2 разные должности из 20. Это соответствует нахождению числа размещений из 20 элементов по 2 ($n=20$, $k=2$).

На должность физорга можно выбрать любого из 20 учеников (20 способов). После этого на должность культорга останется 19 кандидатов (19 способов).

Общее количество способов равно произведению числа способов для каждой должности:
$A_{20}^{2} = 20 \cdot 19 = 380$.

Ответ: 380.

2) физорга, культорга и казначея

Здесь необходимо выбрать 3 человек на 3 разные должности из 20. Это соответствует нахождению числа размещений из 20 элементов по 3 ($n=20$, $k=3$).

Физорга можно выбрать 20 способами. После этого для выбора культорга останется 19 человек, а для выбора казначея — 18 человек.

Общее количество способов будет равно произведению этих вариантов:
$A_{20}^{3} = 20 \cdot 19 \cdot 18 = 380 \cdot 18 = 6840$.

Ответ: 6840.