Номер 1073, страница 325 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 11. Комбинаторика. Параграф 62. Размещения - номер 1073, страница 325.

Условие.

1073 В классе изучают 8 предметов естественно-математического цикла. Сколькими способами можно составить расписание на пятницу, если в этот день должны быть:

1) 5 уроков из пяти разных предметов этого цикла;

2) 6 уроков из шести разных предметов этого цикла.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) 5 уроков из пяти разных предметов этого цикла;
Для составления расписания на пятницу необходимо выбрать 5 разных предметов из 8 доступных и расставить их в определенном порядке на 5 учебных мест (уроков). Поскольку порядок предметов в расписании важен, мы имеем дело с размещениями.
Количество способов составить такое расписание равно числу размещений из 8 элементов по 5. Оно вычисляется по формуле: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$, где $n$ — общее количество предметов, а $k$ — количество уроков в расписании.
В данном случае $n=8$ и $k=5$.
$A_8^5 = \frac{8!}{(8-5)!} = \frac{8!}{3!} = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 6720$.
Таким образом, существует 6720 способов составить расписание.
Ответ: 6720

2) 6 уроков из шести разных предметов этого цикла.
Аналогично первому пункту, необходимо составить расписание из 6 уроков, выбрав для них 6 разных предметов из 8 имеющихся. Порядок уроков также имеет значение.
Мы снова используем формулу для числа размещений, но теперь $n=8$ (общее количество предметов) и $k=6$ (количество уроков).
$A_8^6 = \frac{8!}{(8-6)!} = \frac{8!}{2!} = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 20160$.
Таким образом, существует 20160 способов составить расписание.
Ответ: 20160