Номер 1071, страница 322 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 11. Комбинаторика. Параграф 61. Перестановки - номер 1071, страница 322.

Условие.

1071 Имеются 8 книг, среди которых:

1) 6 книг различных авторов и двухтомник одного автора, книг которого не было среди предыдущих шести книг;

2) 5 книг различных пяти авторов и трёхтомник шестого автора. Сколькими способами можно расставить эти книги на полке так, чтобы книги одного автора стояли рядом?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) В данном случае имеется 8 книг: 6 книг различных авторов и двухтомник еще одного автора. Требуется найти количество способов расставить книги так, чтобы тома одного автора стояли рядом.
Для решения этой задачи мы можем рассматривать двухтомник как один единый объект (или "блок"). Тогда у нас будет 6 отдельных книг и 1 "блок", что в сумме составляет $6 + 1 = 7$ объектов для расстановки на полке.
Количество способов расставить эти 7 различных объектов равно числу перестановок из 7 элементов, которое вычисляется как $P_7 = 7!$.
$7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040$.
Теперь рассмотрим "блок", состоящий из двух томов. Книги внутри этого блока также можно переставлять между собой. Количество способов их переставить равно $P_2 = 2!$.
$2! = 2 \times 1 = 2$.
Согласно правилу произведения в комбинаторике, общее число способов расстановки равно произведению числа перестановок объектов на полке и числа перестановок книг внутри блока:
$N = 7! \times 2! = 5040 \times 2 = 10080$.
Ответ: 10080.

2) В этом случае имеется 8 книг: 5 книг различных авторов и трёхтомник шестого автора. Условие то же: книги одного автора должны стоять рядом.
Аналогично первому пункту, мы рассматриваем трёхтомник как один единый "блок". Тогда у нас есть 5 отдельных книг и 1 "блок", что в сумме составляет $5 + 1 = 6$ объектов для расстановки.
Количество способов расставить эти 6 различных объектов равно числу перестановок из 6 элементов: $P_6 = 6!$.
$6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$.
Внутри "блока" три тома можно переставить $P_3 = 3!$ способами.
$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$.
По правилу произведения, общее число способов расстановки равно:
$N = 6! \times 3! = 720 \times 6 = 4320$.
Ответ: 4320.