Номер 1066, страница 322 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 11. Комбинаторика. Параграф 61. Перестановки - номер 1066, страница 322.

Условие.

1066 Упростить выражение (буквами n и m обозначены натуральные числа):

1) $\frac{P_{n+1}}{P_n}$;

2) $\frac{P_{n+2}}{P_{n+1}}`;

3) $\frac{m!(m+1)}{(m+2)!}$;

4) $\frac{(m+3)!}{(m+1)!(m+2)}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Упростим выражение $\frac{P_{n+1}}{P_n}$.
Здесь $P_k$ обозначает число перестановок из $k$ элементов, которое вычисляется по формуле $P_k = k!$ (k-факториал).
Таким образом, $P_n = n!$ и $P_{n+1} = (n+1)!$.
Подставим эти значения в исходное выражение: $$ \frac{P_{n+1}}{P_n} = \frac{(n+1)!}{n!} $$ По определению факториала, $(n+1)! = (n+1) \cdot n \cdot (n-1) \cdot \dots \cdot 1 = (n+1) \cdot n!$.
Теперь мы можем подставить это разложение в дробь и сократить её: $$ \frac{(n+1) \cdot n!}{n!} = n+1 $$
Ответ: $n+1$

2) Упростим выражение $\frac{P_{n+2}}{P_{n+1}}$.
Аналогично первому пункту, используя определение $P_k = k!$, получаем: $P_{n+2} = (n+2)!$ и $P_{n+1} = (n+1)!$.
Подставляем эти значения в выражение: $$ \frac{P_{n+2}}{P_{n+1}} = \frac{(n+2)!}{(n+1)!} $$ По определению факториала, $(n+2)! = (n+2) \cdot (n+1)!$.
Подставляем это в нашу дробь и сокращаем: $$ \frac{(n+2) \cdot (n+1)!}{(n+1)!} = n+2 $$
Ответ: $n+2$

3) Упростим выражение $\frac{m!(m+1)}{(m+2)!}$.
Рассмотрим числитель дроби: $m!(m+1)$. По свойству факториала, $(m+1) \cdot m! = (m+1)!$.
Таким образом, числитель равен $(m+1)!$.
Выражение принимает вид: $$ \frac{(m+1)!}{(m+2)!} $$ Теперь рассмотрим знаменатель: $(m+2)!$. По определению, $(m+2)! = (m+2) \cdot (m+1)!$.
Подставляем это разложение в нашу дробь и сокращаем: $$ \frac{(m+1)!}{(m+2) \cdot (m+1)!} = \frac{1}{m+2} $$
Ответ: $\frac{1}{m+2}$

4) Упростим выражение $\frac{(m+3)!}{(m+1)!(m+2)}$.
Рассмотрим знаменатель дроби: $(m+1)!(m+2)$.
Используя свойство факториала, $(m+2) \cdot (m+1)! = (m+2)!$.
Следовательно, знаменатель равен $(m+2)!$.
Исходное выражение можно переписать в виде: $$ \frac{(m+3)!}{(m+2)!} $$ Теперь распишем числитель по определению факториала: $(m+3)! = (m+3) \cdot (m+2)!$.
Подставляем и сокращаем: $$ \frac{(m+3) \cdot (m+2)!}{(m+2)!} = m+3 $$
Ответ: $m+3$