Номер 1067, страница 322 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 11. Комбинаторика. Параграф 61. Перестановки - номер 1067, страница 322.

Условие.

1067 Решить уравнение относительно n:

1) $ \frac{P_n}{P_{n+1}} = \frac{1}{4}; $

2) $ \frac{P_{n+2}}{P_{n+1}} = 5; $

3) $ \frac{P_n}{P_{n-2}} = 20; $

4) $ \frac{P_{n-1}}{P_{n+1}} = \frac{1}{12}. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения данных уравнений воспользуемся определением числа перестановок из $k$ элементов: $P_k = k!$, где $k! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot k$. Важным свойством факториала является то, что $k! = k \cdot (k-1)!$. Также необходимо учитывать область определения: индекс $k$ в $P_k$ должен быть целым неотрицательным числом.

1) $\frac{P_n}{P_{n+1}} = \frac{1}{4}$

Запишем уравнение, используя определение факториала:

$\frac{n!}{(n+1)!} = \frac{1}{4}$

Упростим левую часть уравнения, используя свойство факториала $(n+1)! = (n+1) \cdot n!$:

$\frac{n!}{(n+1) \cdot n!} = \frac{1}{n+1}$

Теперь решим получившееся уравнение:

$\frac{1}{n+1} = \frac{1}{4}$

Отсюда следует, что $n+1 = 4$, и, следовательно, $n = 3$.

Проверим область определения: для существования $P_n$ и $P_{n+1}$ необходимо, чтобы $n \ge 0$ и $n+1 \ge 0$, что выполняется при $n \ge 0$. Найденное значение $n=3$ удовлетворяет этому условию.

Ответ: $n=3$.

2) $\frac{P_{n+2}}{P_{n+1}} = 5$

Подставим в уравнение формулу для числа перестановок:

$\frac{(n+2)!}{(n+1)!} = 5$

Упростим левую часть, зная, что $(n+2)! = (n+2) \cdot (n+1)!$:

$\frac{(n+2) \cdot (n+1)!}{(n+1)!} = n+2$

Решим полученное линейное уравнение:

$n+2 = 5$

$n = 3$

Область определения: $n+2 \ge 0$ и $n+1 \ge 0$, то есть $n \ge -1$. Значение $n=3$ удовлетворяет этому условию.

Ответ: $n=3$.

3) $\frac{P_n}{P_{n-2}} = 20$

Перепишем уравнение с использованием факториалов:

$\frac{n!}{(n-2)!} = 20$

Упростим левую часть, используя свойство $n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2)!$:

$\frac{n \cdot (n-1) \cdot (n-2)!}{(n-2)!} = n(n-1)$

Получаем квадратное уравнение:

$n(n-1) = 20$

$n^2 - n - 20 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни: $n_1 = 5$ и $n_2 = -4$.

Область определения: $n \ge 0$ и $n-2 \ge 0$, что эквивалентно $n \ge 2$. Корень $n_2 = -4$ не удовлетворяет этому условию, поэтому он является посторонним. Единственным решением является $n=5$.

Ответ: $n=5$.

4) $\frac{P_{n-1}}{P_{n+1}} = \frac{1}{12}$

Запишем уравнение через факториалы:

$\frac{(n-1)!}{(n+1)!} = \frac{1}{12}$

Упростим левую часть, используя то, что $(n+1)! = (n+1) \cdot n \cdot (n-1)!$:

$\frac{(n-1)!}{(n+1) \cdot n \cdot (n-1)!} = \frac{1}{n(n+1)}$

Решим получившееся уравнение:

$\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{12}$

$n(n+1) = 12$

$n^2 + n - 12 = 0$

Находим корни этого квадратного уравнения: $n_1 = 3$ и $n_2 = -4$.

Область определения: $n-1 \ge 0$ и $n+1 \ge 0$, что дает нам условие $n \ge 1$. Корень $n_2 = -4$ не подходит. Корень $n_1 = 3$ удовлетворяет условию.

Ответ: $n=3$.