Номер 1068, страница 322 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 11. Комбинаторика. Параграф 61. Перестановки - номер 1068, страница 322.

Условие.

1068 Сколько различных слов можно составить, переставляя местами буквы в слове:

1) гипотенуза;

2) треугольник?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Эта задача относится к разделу комбинаторики и решается с помощью формулы для перестановок без повторений. Если в слове $n$ различных букв, то количество различных слов (анаграмм), которые можно составить, переставляя эти буквы, равно числу перестановок из $n$ элементов и вычисляется по формуле $P_n = n!$ (n-факториал).

1) гипотенуза
Сначала проанализируем слово «гипотенуза». Подсчитаем количество букв в этом слове и проверим, есть ли среди них повторяющиеся.
Слово состоит из 10 букв: г, и, п, о, т, е, н, у, з, а.
Все 10 букв в этом слове уникальны.
Следовательно, количество различных слов, которые можно составить, равно числу перестановок из 10 элементов:
$P_{10} = 10!$
Вычислим значение факториала:
$10! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 \times 7 \times 8 \times 9 \times 10 = 3 628 800$
Таким образом, из букв слова «гипотенуза» можно составить 3 628 800 различных слов.
Ответ: 3 628 800.

2) треугольник
Теперь проанализируем слово «треугольник». Подсчитаем количество букв и проверим на наличие повторений.
Слово состоит из 11 букв: т, р, е, у, г, о, л, ь, н, и, к.
Все 11 букв в этом слове также уникальны.
Следовательно, количество различных слов, которые можно составить, равно числу перестановок из 11 элементов:
$P_{11} = 11!$
Вычислим значение факториала:
$11! = 10! \times 11 = 3 628 800 \times 11 = 39 916 800$
Таким образом, из букв слова «треугольник» можно составить 39 916 800 различных слов.
Ответ: 39 916 800.