Номер 1069, страница 322 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 11. Комбинаторика. Параграф 61. Перестановки - номер 1069, страница 322.

Условие.

1069 Сколько различных шестизначных чисел, не содержащих одинаковых цифр и кратных $5$, можно записать с помощью цифр $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ и $6$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения этой задачи необходимо определить, сколько шестизначных чисел можно составить из набора цифр {1, 2, 3, 4, 5, 6} при соблюдении двух условий: цифры в числе не должны повторяться, и число должно быть кратным 5.

1. Условие кратности 5.
Число является кратным 5, если его последняя цифра — 0 или 5. В предоставленном наборе цифр {1, 2, 3, 4, 5, 6} есть только одна цифра, удовлетворяющая этому правилу, — это цифра 5. Следовательно, чтобы число было кратным 5, оно должно заканчиваться на 5. Это фиксирует последнюю, шестую, позицию в нашем шестизначном числе.

_ _ _ _ _ 5

2. Условие уникальности цифр.
Так как последняя позиция занята цифрой 5, для заполнения оставшихся пяти позиций у нас остаются пять цифр: {1, 2, 3, 4, 6}. Поскольку все цифры в числе должны быть различными, нам нужно расположить эти 5 цифр на 5 свободных местах.

Задача сводится к вычислению числа перестановок для оставшихся 5 цифр. Количество перестановок из $n$ элементов вычисляется по формуле $P_n = n!$.

В нашем случае $n=5$, так как нужно расставить 5 цифр. Вычислим количество возможных способов:

$P_5 = 5! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 = 120$

Таким образом, существует 120 способов расставить цифры 1, 2, 3, 4, 6 на первых пяти позициях, в то время как шестая позиция всегда занята цифрой 5. Каждому такому способу соответствует уникальное шестизначное число, удовлетворяющее всем условиям задачи.

Ответ: 120