Номер 1065, страница 322 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 11. Комбинаторика. Параграф 61. Перестановки - номер 1065, страница 322.

Условие.

1065 Найти значение выражения:

1) $\frac{26!}{25!}$

2) $\frac{32!}{31!}$

3) $\frac{12!}{10!}$

4) $\frac{14!}{12!}$

5) $\frac{5! \cdot 3!}{7!}$

6) $\frac{6! \cdot 4!}{8!}$

7) $\frac{10!}{8! \cdot 3!}$

8) $\frac{11!}{9! \cdot 2!}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы найти значение выражения $\frac{26!}{25!}$, воспользуемся определением факториала: $n! = n \cdot (n-1)!$. Представим числитель $26!$ как $26 \cdot 25!$. Тогда выражение примет вид: $$ \frac{26 \cdot 25!}{25!} $$ Сократим $25!$ в числителе и знаменателе: $$ \frac{26 \cdot \sout{25!}}{\sout{25!}} = 26 $$ Ответ: 26

2) Чтобы найти значение выражения $\frac{32!}{31!}$, поступим аналогично предыдущему пункту. Представим $32!$ как $32 \cdot 31!$. Тогда выражение примет вид: $$ \frac{32 \cdot 31!}{31!} $$ Сократим $31!$: $$ \frac{32 \cdot \sout{31!}}{\sout{31!}} = 32 $$ Ответ: 32

3) Для выражения $\frac{12!}{10!}$ представим $12!$ как $12 \cdot 11 \cdot 10!$, используя свойство $n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2)!$. Получим: $$ \frac{12 \cdot 11 \cdot 10!}{10!} $$ Сократим $10!$: $$ \frac{12 \cdot 11 \cdot \sout{10!}}{\sout{10!}} = 12 \cdot 11 = 132 $$ Ответ: 132

4) Для выражения $\frac{14!}{12!}$ представим $14!$ как $14 \cdot 13 \cdot 12!$. Получим: $$ \frac{14 \cdot 13 \cdot 12!}{12!} $$ Сократим $12!$: $$ \frac{14 \cdot 13 \cdot \sout{12!}}{\sout{12!}} = 14 \cdot 13 = 182 $$ Ответ: 182

5) Чтобы найти значение выражения $\frac{5! \cdot 3!}{7!}$, представим больший факториал в знаменателе, $7!$, через меньший факториал в числителе, $5!$: $7! = 7 \cdot 6 \cdot 5!$. Выражение примет вид: $$ \frac{5! \cdot 3!}{7 \cdot 6 \cdot 5!} $$ Сократим $5!$: $$ \frac{\sout{5!} \cdot 3!}{7 \cdot 6 \cdot \sout{5!}} = \frac{3!}{7 \cdot 6} $$ Теперь вычислим $3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$. $$ \frac{6}{7 \cdot 6} = \frac{\sout{6}}{7 \cdot \sout{6}} = \frac{1}{7} $$ Ответ: $\frac{1}{7}$

6) Чтобы найти значение выражения $\frac{6! \cdot 4!}{8!}$, представим $8!$ через $6!$: $8! = 8 \cdot 7 \cdot 6!$. Выражение примет вид: $$ \frac{6! \cdot 4!}{8 \cdot 7 \cdot 6!} $$ Сократим $6!$: $$ \frac{\sout{6!} \cdot 4!}{8 \cdot 7 \cdot \sout{6!}} = \frac{4!}{8 \cdot 7} $$ Теперь вычислим $4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$. $$ \frac{24}{8 \cdot 7} = \frac{3 \cdot \sout{8}}{\sout{8} \cdot 7} = \frac{3}{7} $$ Ответ: $\frac{3}{7}$

7) В выражении $\frac{10!}{8! \cdot 3!}$ представим $10!$ через $8!$: $10! = 10 \cdot 9 \cdot 8!$. Получим: $$ \frac{10 \cdot 9 \cdot 8!}{8! \cdot 3!} $$ Сократим $8!$: $$ \frac{10 \cdot 9 \cdot \sout{8!}}{\sout{8!} \cdot 3!} = \frac{10 \cdot 9}{3!} $$ Вычислим $3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$. $$ \frac{10 \cdot 9}{6} = \frac{90}{6} = 15 $$ Ответ: 15

8) В выражении $\frac{11!}{9! \cdot 2!}$ представим $11!$ через $9!$: $11! = 11 \cdot 10 \cdot 9!$. Получим: $$ \frac{11 \cdot 10 \cdot 9!}{9! \cdot 2!} $$ Сократим $9!$: $$ \frac{11 \cdot 10 \cdot \sout{9!}}{\sout{9!} \cdot 2!} = \frac{11 \cdot 10}{2!} $$ Вычислим $2! = 2 \cdot 1 = 2$. $$ \frac{11 \cdot 10}{2} = \frac{110}{2} = 55 $$ Ответ: 55