Номер 1063, страница 321 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 11. Комбинаторика. Параграф 61. Перестановки - номер 1063, страница 321.

Условие.

1063 Сколько различных пятизначных чисел, не содержащих одинаковых цифр, можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5 так, чтобы:

1) последней была цифра 3;

2) первой была цифра 4;

3) первой была цифра 5, а второй — цифра 1;

4) первой была цифра 2, а последней — цифра 4;

5) первыми были цифры 3 и 4, расположенные в любом порядке;

6) последними были цифры 1 и 2, расположенные в любом порядке?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

В задаче требуется найти количество различных пятизначных чисел, составленных из цифр 1, 2, 3, 4, 5 без повторений, при выполнении определенных условий. Это задача на перестановки. Общее количество пятизначных чисел, которые можно составить из этих пяти цифр без повторения, равно числу перестановок из 5 элементов: $P_5 = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$.

1) последней была цифра 3;
Пятизначное число имеет вид _ _ _ _ 3. Последняя позиция занята цифрой 3. Оставшиеся 4 цифры (1, 2, 4, 5) нужно расставить на первых четырех позициях. Число способов сделать это равно числу перестановок из 4 элементов.
$P_4 = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.
Ответ: 24.

2) первой была цифра 4;
Пятизначное число имеет вид 4 _ _ _ _. Первая позиция занята цифрой 4. Оставшиеся 4 цифры (1, 2, 3, 5) нужно расставить на оставшихся четырех позициях. Число способов сделать это равно числу перестановок из 4 элементов.
$P_4 = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.
Ответ: 24.

3) первой была цифра 5, а второй — цифра 1;
Пятизначное число имеет вид 5 1 _ _ _. Первые две позиции заняты цифрами 5 и 1. Оставшиеся 3 цифры (2, 3, 4) нужно расставить на оставшихся трех позициях. Число способов сделать это равно числу перестановок из 3 элементов.
$P_3 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$.
Ответ: 6.

4) первой была цифра 2, а последней — цифра 4;
Пятизначное число имеет вид 2 _ _ _ 4. Первая и последняя позиции заняты цифрами 2 и 4. Оставшиеся 3 цифры (1, 3, 5) нужно расставить на трех средних позициях. Число способов сделать это равно числу перестановок из 3 элементов.
$P_3 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$.
Ответ: 6.

5) первыми были цифры 3 и 4, расположенные в любом порядке;
Это означает, что число может начинаться либо с комбинации "34", либо с "43".
Количество способов расположить цифры 3 и 4 на первых двух местах равно $P_2 = 2! = 2$.
Для каждого из этих двух вариантов, оставшиеся 3 цифры (1, 2, 5) можно расставить на оставшихся трех местах $P_3 = 3! = 6$ способами.
Общее число таких чисел находится произведением числа вариантов для первых двух позиций и числа вариантов для оставшихся трех позиций: $2! \times 3! = 2 \times 6 = 12$.
Ответ: 12.

6) последними были цифры 1 и 2, расположенные в любом порядке?
Это означает, что число может заканчиваться либо на "12", либо на "21".
Количество способов расположить цифры 1 и 2 на последних двух местах равно $P_2 = 2! = 2$.
Для каждого из этих двух вариантов, оставшиеся 3 цифры (3, 4, 5) можно расставить на первых трех местах $P_3 = 3! = 6$ способами.
Общее число таких чисел находится произведением числа вариантов для первых трех позиций и числа вариантов для последних двух позиций: $3! \times 2! = 6 \times 2 = 12$.
Ответ: 12.