Номер 1074, страница 325 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 11. Комбинаторика. Параграф 62. Размещения - номер 1074, страница 325.

Условие.

1074 Сколько существует способов для обозначения с помощью букв A, B, C, D, E, F вершин данного:

1) четырёхугольника;

2) треугольника?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) четырёхугольника

Для обозначения вершин четырёхугольника нам нужно выбрать 4 буквы из 6 предложенных (A, B, C, D, E, F) и присвоить их 4 вершинам. Так как порядок присвоения букв вершинам имеет значение (например, обозначение вершин по часовой стрелке как ABCD отличается от ADCB), нам необходимо найти число размещений.

Число размещений из $n$ элементов по $k$ вычисляется по формуле:

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

В данном случае у нас есть $n=6$ букв и $k=4$ вершины. Подставляем значения в формулу:

$A_6^4 = \frac{6!}{(6-4)!} = \frac{6!}{2!} = \frac{720}{2} = 360$

Можно рассуждать и по-другому: для первой вершины есть 6 вариантов выбора буквы. Для второй вершины остаётся 5 вариантов, для третьей — 4 варианта, а для четвертой — 3 варианта. Общее количество способов равно произведению этих вариантов:

$6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360$

Ответ: 360.

2) треугольника

Для обозначения вершин треугольника нужно выбрать 3 буквы из 6 предложенных. Эта задача также решается с помощью формулы для числа размещений, так как порядок букв важен.

Здесь $n=6$ (общее количество букв), а $k=3$ (количество вершин у треугольника).

$A_6^3 = \frac{6!}{(6-3)!} = \frac{6!}{3!} = \frac{720}{6} = 120$

Рассуждая последовательно: для первой вершины есть 6 вариантов выбора буквы, для второй — 5 оставшихся вариантов, для третьей — 4 варианта. Общее количество способов:

$6 \times 5 \times 4 = 120$

Ответ: 120.