Номер 1081, страница 329 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 11. Комбинаторика. Параграф 63. Сочетания и их свойства - номер 1081, страница 329.

Условие.

1081 Сколькими способами для участия в конференции из 9 членов научного общества можно выбрать:

1) троих студентов;

2) четверых студентов?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) троих студентов

Для решения этой задачи необходимо найти число сочетаний, так как порядок, в котором выбирают студентов, не имеет значения. Формула для числа сочетаний из $n$ элементов по $k$ имеет вид:
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
В данном случае общее число членов научного общества $n=9$, а выбрать нужно $k=3$ студентов.
Подставим значения в формулу:
$C_9^3 = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9!}{3!6!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6!}{ (3 \times 2 \times 1) \times 6!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{6} = 3 \times 4 \times 7 = 84$.
Таким образом, существует 84 способа выбрать троих студентов для участия в конференции.
Ответ: 84

2) четверых студентов

Аналогично первому пункту, используем формулу для числа сочетаний.
Общее число членов научного общества $n=9$, а выбрать нужно $k=4$ студентов.
Подставим значения в формулу:
$C_9^4 = \frac{9!}{4!(9-4)!} = \frac{9!}{4!5!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5!}{ (4 \times 3 \times 2 \times 1) \times 5!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{24} = 9 \times 2 \times 7 = 126$.
Таким образом, существует 126 способов выбрать четверых студентов для участия в конференции.
Ответ: 126