Номер 1085, страница 329 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 11. Комбинаторика. Параграф 63. Сочетания и их свойства - номер 1085, страница 329.

Условие.

1085 На окружности отмечено:

1) 10 точек;

2) 12 точек.

Сколько различных треугольников с вершинами, выбранными из этих точек, можно построить?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Чтобы построить треугольник, необходимо выбрать 3 точки из заданных, которые станут его вершинами. Так как все точки лежат на окружности, никакие три из них не находятся на одной прямой. Это значит, что любой выбор трёх точек однозначно определяет треугольник. Порядок выбора вершин не имеет значения, поэтому для нахождения количества различных треугольников мы будем использовать формулу для числа сочетаний из n элементов по k.

Формула для числа сочетаний:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В данной задаче для построения треугольника мы выбираем k=3 вершины.

1) Если на окружности отмечено 10 точек (n=10), то количество различных треугольников равно числу сочетаний из 10 по 3:

$C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{720}{6} = 120$.

Ответ: 120.

2) Если на окружности отмечено 12 точек (n=12), то количество различных треугольников равно числу сочетаний из 12 по 3:

$C_{12}^3 = \frac{12!}{3!(12-3)!} = \frac{12!}{3!9!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{1320}{6} = 220$.

Ответ: 220.