Номер 1090, страница 329 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 11. Комбинаторика. Параграф 63. Сочетания и их свойства - номер 1090, страница 329.

Условие.

1090 Найти значение выражения, предварительно его упростив:

1) $C_{13}^{10} + C_{13}^{11}$;

2) $C_{14}^{12} + C_{14}^{13}$;

3) $C_{19}^{4} - C_{18}^{4}$;

4) $C_{21}^{3} - C_{20}^{3}$;

5) $C_{61}^{3} - C_{60}^{2}$;

6) $C_{71}^{3} - C_{70}^{2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения данных задач будем использовать свойства сочетаний. Основное свойство, которое нам понадобится, — это правило Паскаля, которое связывает сочетания для $n$ и $n+1$ элементов:

$C_n^k + C_n^{k+1} = C_{n+1}^{k+1}$

Также полезным будет свойство симметричности:

$C_n^k = C_n^{n-k}$

И формула для вычисления числа сочетаний:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

1) $C_{13}^{10} + C_{13}^{11}$

Воспользуемся правилом Паскаля $C_n^k + C_n^{k+1} = C_{n+1}^{k+1}$, где $n=13$ и $k=10$.

$C_{13}^{10} + C_{13}^{11} = C_{13+1}^{10+1} = C_{14}^{11}$.

Теперь вычислим значение $C_{14}^{11}$. Для упрощения вычислений применим свойство симметричности $C_n^k = C_n^{n-k}$:

$C_{14}^{11} = C_{14}^{14-11} = C_{14}^{3}$.

Вычисляем значение:

$C_{14}^{3} = \frac{14!}{3!(14-3)!} = \frac{14!}{3!11!} = \frac{14 \cdot 13 \cdot 12}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{2184}{6} = 364$.

Ответ: 364.

2) $C_{14}^{12} + C_{14}^{13}$

Применим правило Паскаля $C_n^k + C_n^{k+1} = C_{n+1}^{k+1}$, где $n=14$ и $k=12$.

$C_{14}^{12} + C_{14}^{13} = C_{14+1}^{12+1} = C_{15}^{13}$.

Используем свойство симметричности $C_n^k = C_n^{n-k}$:

$C_{15}^{13} = C_{15}^{15-13} = C_{15}^{2}$.

Вычисляем значение:

$C_{15}^{2} = \frac{15!}{2!(15-2)!} = \frac{15!}{2!13!} = \frac{15 \cdot 14}{2 \cdot 1} = \frac{210}{2} = 105$.

Ответ: 105.

3) $C_{19}^{4} - C_{18}^{4}$

Из правила Паскаля $C_{n-1}^{k-1} + C_{n-1}^{k} = C_n^k$ следует, что $C_n^k - C_{n-1}^{k} = C_{n-1}^{k-1}$.

В нашем случае $n=19$ и $k=4$.

$C_{19}^{4} - C_{18}^{4} = C_{19-1}^{4-1} = C_{18}^{3}$.

Вычисляем значение:

$C_{18}^{3} = \frac{18!}{3!(18-3)!} = \frac{18!}{3!15!} = \frac{18 \cdot 17 \cdot 16}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 3 \cdot 17 \cdot 16 = 816$.

Ответ: 816.

4) $C_{21}^{3} - C_{20}^{3}$

Используем то же следствие из правила Паскаля, что и в предыдущем пункте: $C_n^k - C_{n-1}^{k} = C_{n-1}^{k-1}$.

Здесь $n=21$ и $k=3$.

$C_{21}^{3} - C_{20}^{3} = C_{21-1}^{3-1} = C_{20}^{2}$.

Вычисляем значение:

$C_{20}^{2} = \frac{20!}{2!(20-2)!} = \frac{20!}{2!18!} = \frac{20 \cdot 19}{2 \cdot 1} = 10 \cdot 19 = 190$.

Ответ: 190.

5) $C_{61}^{3} - C_{60}^{2}$

Используем правило Паскаля в виде $C_n^k = C_{n-1}^{k-1} + C_{n-1}^k$.

Подставим $n=61$ и $k=3$:

$C_{61}^{3} = C_{61-1}^{3-1} + C_{61-1}^{3} = C_{60}^{2} + C_{60}^{3}$.

Теперь подставим это в исходное выражение:

$C_{61}^{3} - C_{60}^{2} = (C_{60}^{2} + C_{60}^{3}) - C_{60}^{2} = C_{60}^{3}$.

Вычисляем значение:

$C_{60}^{3} = \frac{60!}{3!(60-3)!} = \frac{60!}{3!57!} = \frac{60 \cdot 59 \cdot 58}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 \cdot 59 \cdot 58 = 34220$.

Ответ: 34220.

6) $C_{71}^{3} - C_{70}^{2}$

Аналогично предыдущему пункту, воспользуемся правилом Паскаля $C_n^k = C_{n-1}^{k-1} + C_{n-1}^k$.

При $n=71$ и $k=3$ получаем:

$C_{71}^{3} = C_{71-1}^{3-1} + C_{71-1}^{3} = C_{70}^{2} + C_{70}^{3}$.

Подставляем в исходное выражение:

$C_{71}^{3} - C_{70}^{2} = (C_{70}^{2} + C_{70}^{3}) - C_{70}^{2} = C_{70}^{3}$.

Вычисляем значение:

$C_{70}^{3} = \frac{70!}{3!(70-3)!} = \frac{70!}{3!67!} = \frac{70 \cdot 69 \cdot 68}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 70 \cdot 23 \cdot 34 = 54740$.

Ответ: 54740.