Номер 1097, страница 333 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 11. Комбинаторика. Упражнения к главе 11 - номер 1097, страница 333.

Условие.

1097 Вычислить:

1) $\frac{7! - 5!}{5!}$;

2) $\frac{6! - 4!}{5!}$;

3) $\frac{149!}{148!} - \frac{36!}{35!}$;

4) $\frac{97!}{96!} + \frac{35!}{34!}$;

5) $\frac{4! \cdot 8!}{6! \cdot 7!}$;

6) $\frac{9! \cdot 5!}{7! \cdot 6!}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы вычислить выражение $\frac{7! - 5!}{5!}$, воспользуемся основным свойством факториала: $n! = n \cdot (n-1) \cdot \dots \cdot 1$. Также полезно помнить, что $n! = n \cdot (n-1)!$.
Разделим числитель на знаменатель почленно:
$\frac{7! - 5!}{5!} = \frac{7!}{5!} - \frac{5!}{5!}$
Теперь упростим каждую дробь. Для первой дроби представим $7!$ как $7 \cdot 6 \cdot 5!$:
$\frac{7!}{5!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5!}{5!} = 7 \cdot 6 = 42$
Вторая дробь равна единице:
$\frac{5!}{5!} = 1$
Выполним вычитание:
$42 - 1 = 41$
Ответ: 41.

2) Вычислим выражение $\frac{6! - 4!}{5!}$.
Как и в предыдущем примере, разделим почленно:
$\frac{6! - 4!}{5!} = \frac{6!}{5!} - \frac{4!}{5!}$
Упростим первую дробь, используя $6! = 6 \cdot 5!$:
$\frac{6!}{5!} = \frac{6 \cdot 5!}{5!} = 6$
Упростим вторую дробь, используя $5! = 5 \cdot 4!$:
$\frac{4!}{5!} = \frac{4!}{5 \cdot 4!} = \frac{1}{5}$
Выполним вычитание:
$6 - \frac{1}{5} = \frac{30}{5} - \frac{1}{5} = \frac{29}{5}$
Ответ: $\frac{29}{5}$.

3) Вычислим выражение $\frac{149!}{148!} - \frac{36!}{35!}$.
Вычислим значение каждой дроби по отдельности.
Для первой дроби используем свойство $149! = 149 \cdot 148!$:
$\frac{149!}{148!} = \frac{149 \cdot 148!}{148!} = 149$
Для второй дроби используем свойство $36! = 36 \cdot 35!$:
$\frac{36!}{35!} = \frac{36 \cdot 35!}{35!} = 36$
Теперь выполним вычитание полученных значений:
$149 - 36 = 113$
Ответ: 113.

4) Вычислим выражение $\frac{97!}{96!} + \frac{35!}{34!}$.
Вычислим значение каждой дроби по отдельности.
$\frac{97!}{96!} = \frac{97 \cdot 96!}{96!} = 97$
$\frac{35!}{34!} = \frac{35 \cdot 34!}{34!} = 35$
Теперь выполним сложение:
$97 + 35 = 132$
Ответ: 132.

5) Вычислим выражение $\frac{4! \cdot 8!}{6! \cdot 7!}$.
Для упрощения дроби представим большие факториалы через меньшие.
$8! = 8 \cdot 7!$
$6! = 6 \cdot 5 \cdot 4!$
Подставим эти выражения в исходную дробь:
$\frac{4! \cdot (8 \cdot 7!)}{(6 \cdot 5 \cdot 4!) \cdot 7!}$
Сократим общие множители $4!$ и $7!$ в числителе и знаменателе:
$\frac{8}{6 \cdot 5} = \frac{8}{30}$
Сократим полученную дробь на 2:
$\frac{4}{15}$
Ответ: $\frac{4}{15}$.

6) Вычислим выражение $\frac{9! \cdot 5!}{7! \cdot 6!}$.
Представим большие факториалы через меньшие, чтобы упростить выражение.
$9! = 9 \cdot 8 \cdot 7!$
$6! = 6 \cdot 5!$
Подставим эти выражения в исходную дробь:
$\frac{(9 \cdot 8 \cdot 7!) \cdot 5!}{7! \cdot (6 \cdot 5!)}$
Сократим общие множители $7!$ и $5!$ в числителе и знаменателе:
$\frac{9 \cdot 8}{6} = \frac{72}{6} = 12$
Ответ: 12.