Номер 1103, страница 334 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 11. Комбинаторика. Упражнения к главе 11 - номер 1103, страница 334.

Условие.

1103 Сколькими способами могут распределиться одно первое, одно второе и одно третье места среди:

1) десяти;

2) восьми

участников соревнования?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения этой задачи используется понятие размещений из комбинаторики, так как порядок распределения призовых мест (первое, второе, третье) важен, и один и тот же участник не может занять несколько мест. Формула для нахождения числа размещений из $n$ элементов по $k$ (без повторений) следующая: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.

В обоих случаях мы распределяем $k=3$ призовых места.

1) десяти

В этом случае общее число участников соревнования $n=10$. Нам нужно найти, сколькими способами можно выбрать 3-х победителей и расставить их по трем призовым местам. Это можно сделать двумя способами.

Метод 1: Правило произведения.
На первое место может быть выбран любой из 10 участников.После того как первый победитель определен, на второе место остается 9 кандидатов.Соответственно, на третье место остается 8 кандидатов.Общее число способов равно произведению числа вариантов для каждого места: $10 \times 9 \times 8 = 720$.

Метод 2: Формула размещений.
Подставляем значения $n=10$ и $k=3$ в формулу:$A_{10}^3 = \frac{10!}{(10-3)!} = \frac{10!}{7!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7!}{7!} = 10 \times 9 \times 8 = 720$.

Ответ: 720 способами.

2) восьми

Здесь общее число участников $n=8$. Расчет производится аналогично первому пункту.

Метод 1: Правило произведения.
На первое место есть 8 вариантов выбора.На второе место — 7 оставшихся вариантов.На третье место — 6 оставшихся вариантов.Общее число способов: $8 \times 7 \times 6 = 336$.

Метод 2: Формула размещений.
Подставляем значения $n=8$ и $k=3$ в формулу:$A_8^3 = \frac{8!}{(8-3)!} = \frac{8!}{5!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5!}{5!} = 8 \times 7 \times 6 = 336$.

Ответ: 336 способами.