Номер 1101, страница 334 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 11. Комбинаторика. Упражнения к главе 11 - номер 1101, страница 334.

Условие.

1101 Сколькими способами можно составить график очерёдности дежурства (по одному человеку в день) в школьной столовой среди:

1) восьми учащихся на восемь дней?

2) семи учащихся на семь дней?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Эта задача относится к разделу комбинаторики и решается с помощью нахождения числа перестановок. Перестановка — это расположение объектов в определенном порядке. Если у нас есть n различных объектов, то количество способов их упорядочить (то есть количество перестановок) равно n-факториалу, который обозначается как $n!$ и вычисляется по формуле:

$n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \dots \cdot 2 \cdot 1$

В данной задаче нам нужно составить график дежурства, что эквивалентно расстановке учеников по дням. Порядок учеников в графике важен, поэтому мы используем перестановки.

1) восьми учащихся на восемь дней

Нам нужно распределить 8 разных учащихся на 8 дней. Каждый ученик дежурит ровно один день. Это задача о количестве перестановок из 8 элементов.

В первый день дежурить может любой из 8 учащихся (8 вариантов).

Во второй день — любой из оставшихся 7 учащихся (7 вариантов).

В третий день — любой из оставшихся 6 учащихся (6 вариантов).

И так далее, до последнего, восьмого дня, когда останется только 1 ученик (1 вариант).

Чтобы найти общее количество способов, нужно перемножить количество вариантов для каждого дня. Это и есть вычисление факториала числа 8:

$P_8 = 8! = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 40320$

Таким образом, существует 40320 способов составить график дежурства для 8 учащихся на 8 дней.

Ответ: 40320.

2) семи учащихся на семь дней

Эта задача решается аналогично предыдущей, но для 7 учащихся и 7 дней. Нам нужно найти количество перестановок из 7 элементов.

Количество способов составить график будет равно факториалу числа 7:

$P_7 = 7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040$

Следовательно, существует 5040 способов составить график дежурства для 7 учащихся на 7 дней.

Ответ: 5040.