Номер 1100, страница 334 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 11. Комбинаторика. Упражнения к главе 11 - номер 1100, страница 334.

Условие.

1100 Решить уравнение:

1) $\frac{P_{x+1}}{P_{x-1}} = 30$;

2) $\frac{P_x}{P_{x-2}} = 42$;

3) $\frac{1}{P_{x-5}} = \frac{56}{P_{x-3}}$;

4) $\frac{1}{P_{x-4}} = \frac{110}{P_{x-2}}$;

5) $A_{x+1}^3 = 72 (x - 1)$;

6) $A_{x-1}^4 = 40 (x - 2) (x - 3)$;

7) $5C_{n+1}^3 = 8C_n^4$;

8) $C_n^3 = 4C_{n-2}^2$;

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) $ \frac{P_{x+1}}{P_{x-1}} = 30 $

Используем формулу для числа перестановок $P_n = n!$.
Уравнение принимает вид: $ \frac{(x+1)!}{(x-1)!} = 30 $.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями $x+1 \ge 0$ и $x-1 \ge 0$, откуда $x \ge 1$. Также $x$ должен быть целым числом.
Упростим левую часть уравнения:
$ \frac{(x+1)!}{(x-1)!} = \frac{(x-1)! \cdot x \cdot (x+1)}{(x-1)!} = x(x+1) $.
Получаем квадратное уравнение:
$ x(x+1) = 30 $
$ x^2 + x - 30 = 0 $
Решим его, например, по теореме Виета. Корни уравнения: $x_1 = 5$ и $x_2 = -6$.
Проверяем корни по ОДЗ ($x \ge 1$). Корень $x_2 = -6$ не подходит. Корень $x_1 = 5$ подходит.
Ответ: $x=5$.

2) $ \frac{P_x}{P_{x-2}} = 42 $

Используем формулу $P_n = n!$.
Уравнение: $ \frac{x!}{(x-2)!} = 42 $.
ОДЗ: $x \ge 0$ и $x-2 \ge 0$, откуда $x \ge 2$, $x$ - целое.
Упростим левую часть:
$ \frac{x!}{(x-2)!} = \frac{(x-2)! \cdot (x-1) \cdot x}{(x-2)!} = x(x-1) $.
Получаем уравнение:
$ x(x-1) = 42 $
$ x^2 - x - 42 = 0 $
Корни уравнения: $x_1 = 7$ и $x_2 = -6$.
Проверяем по ОДЗ ($x \ge 2$). Корень $x_2 = -6$ не подходит. Корень $x_1 = 7$ подходит.
Ответ: $x=7$.

3) $ \frac{1}{P_{x-5}} = \frac{56}{P_{x-3}} $

Перепишем уравнение в виде $P_{x-3} = 56 \cdot P_{x-5}$.
Используем формулу $P_n = n!$: $ (x-3)! = 56 \cdot (x-5)! $.
ОДЗ: $x-3 \ge 0$ и $x-5 \ge 0$, откуда $x \ge 5$, $x$ - целое.
Разделим обе части на $P_{x-5} = (x-5)!$ (это возможно, так как $n! > 0$):
$ \frac{(x-3)!}{(x-5)!} = 56 $
$ \frac{(x-5)! \cdot (x-4) \cdot (x-3)}{(x-5)!} = 56 $
$ (x-4)(x-3) = 56 $
$ x^2 - 7x + 12 = 56 $
$ x^2 - 7x - 44 = 0 $
Решим квадратное уравнение через дискриминант: $D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-44) = 49 + 176 = 225 = 15^2$.
$ x_{1,2} = \frac{7 \pm 15}{2} $.
$ x_1 = \frac{7+15}{2} = 11 $.
$ x_2 = \frac{7-15}{2} = -4 $.
Проверяем по ОДЗ ($x \ge 5$). Корень $x_2 = -4$ не подходит. Корень $x_1 = 11$ подходит.
Ответ: $x=11$.

4) $ \frac{1}{P_{x-4}} = \frac{110}{P_{x-2}} $

Перепишем уравнение: $P_{x-2} = 110 \cdot P_{x-4}$.
Используем формулу $P_n = n!$: $ (x-2)! = 110 \cdot (x-4)! $.
ОДЗ: $x-2 \ge 0$ и $x-4 \ge 0$, откуда $x \ge 4$, $x$ - целое.
Преобразуем уравнение:
$ \frac{(x-2)!}{(x-4)!} = 110 $
$ (x-3)(x-2) = 110 $
$ x^2 - 5x + 6 = 110 $
$ x^2 - 5x - 104 = 0 $
Решим квадратное уравнение: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-104) = 25 + 416 = 441 = 21^2$.
$ x_{1,2} = \frac{5 \pm 21}{2} $.
$ x_1 = \frac{5+21}{2} = 13 $.
$ x_2 = \frac{5-21}{2} = -8 $.
Проверяем по ОДЗ ($x \ge 4$). Корень $x_2 = -8$ не подходит. Корень $x_1 = 13$ подходит.
Ответ: $x=13$.

5) $ A_{x+1}^3 = 72(x-1) $

Используем формулу для числа размещений $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.
$ A_{x+1}^3 = \frac{(x+1)!}{(x+1-3)!} = \frac{(x+1)!}{(x-2)!} = (x-1)x(x+1) $.
ОДЗ: $x+1 \ge 3$, откуда $x \ge 2$, $x$ - целое.
Подставляем в уравнение:
$ (x-1)x(x+1) = 72(x-1) $.
Поскольку $x \ge 2$, то $x-1 > 0$, можем разделить обе части на $(x-1)$:
$ x(x+1) = 72 $
$ x^2 + x - 72 = 0 $
Корни уравнения: $x_1 = 8$ и $x_2 = -9$.
Проверяем по ОДЗ ($x \ge 2$). Корень $x_2 = -9$ не подходит. Корень $x_1 = 8$ подходит.
Ответ: $x=8$.

6) $ A_{x-1}^4 = 40(x-2)(x-3) $

Используем формулу $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.
$ A_{x-1}^4 = \frac{(x-1)!}{(x-1-4)!} = \frac{(x-1)!}{(x-5)!} = (x-4)(x-3)(x-2)(x-1) $.
ОДЗ: $x-1 \ge 4$, откуда $x \ge 5$, $x$ - целое.
Подставляем в уравнение:
$ (x-4)(x-3)(x-2)(x-1) = 40(x-2)(x-3) $.
Поскольку $x \ge 5$, то $x-2 > 0$ и $x-3 > 0$. Можем разделить обе части на $(x-2)(x-3)$:
$ (x-4)(x-1) = 40 $
$ x^2 - 5x + 4 = 40 $
$ x^2 - 5x - 36 = 0 $
Корни уравнения: $x_1 = 9$ и $x_2 = -4$.
Проверяем по ОДЗ ($x \ge 5$). Корень $x_2 = -4$ не подходит. Корень $x_1 = 9$ подходит.
Ответ: $x=9$.

7) $ 5C_{n+1}^3 = 8C_n^4 $

Используем формулу для числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.
ОДЗ: $n+1 \ge 3$ и $n \ge 4$. Объединяя, получаем $n \ge 4$, $n$ - целое.
Распишем левую и правую части:
$ C_{n+1}^3 = \frac{(n+1)!}{3!(n+1-3)!} = \frac{(n+1)!}{6(n-2)!} = \frac{(n-1)n(n+1)}{6} $.
$ C_n^4 = \frac{n!}{4!(n-4)!} = \frac{n!}{24(n-4)!} = \frac{(n-3)(n-2)(n-1)n}{24} $.
Подставляем в уравнение:
$ 5 \cdot \frac{(n-1)n(n+1)}{6} = 8 \cdot \frac{(n-3)(n-2)(n-1)n}{24} $.
Поскольку $n \ge 4$, то $n > 0$ и $n-1 > 0$. Можем разделить обе части на $n(n-1)$:
$ \frac{5(n+1)}{6} = \frac{8(n-3)(n-2)}{24} $
$ \frac{5(n+1)}{6} = \frac{(n-3)(n-2)}{3} $
Умножим обе части на 6:
$ 5(n+1) = 2(n-3)(n-2) $
$ 5n + 5 = 2(n^2 - 5n + 6) $
$ 5n + 5 = 2n^2 - 10n + 12 $
$ 2n^2 - 15n + 7 = 0 $
Решим квадратное уравнение: $D = (-15)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 7 = 225 - 56 = 169 = 13^2$.
$ n_{1,2} = \frac{15 \pm 13}{4} $.
$ n_1 = \frac{15+13}{4} = 7 $.
$ n_2 = \frac{15-13}{4} = 0.5 $.
Проверяем по ОДЗ ($n \ge 4$ и $n$ - целое). Корень $n_2 = 0.5$ не подходит. Корень $n_1 = 7$ подходит.
Ответ: $n=7$.

8) $ C_n^3 = 4C_{n-2}^2 $

Используем формулу $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.
ОДЗ: $n \ge 3$ и $n-2 \ge 2$, откуда $n \ge 4$, $n$ - целое.
Распишем левую и правую части:
$ C_n^3 = \frac{n!}{3!(n-3)!} = \frac{n(n-1)(n-2)}{6} $.
$ C_{n-2}^2 = \frac{(n-2)!}{2!(n-2-2)!} = \frac{(n-2)!}{2(n-4)!} = \frac{(n-3)(n-2)}{2} $.
Подставляем в уравнение:
$ \frac{n(n-1)(n-2)}{6} = 4 \cdot \frac{(n-3)(n-2)}{2} $
$ \frac{n(n-1)(n-2)}{6} = 2(n-3)(n-2) $.
Поскольку $n \ge 4$, то $n-2 > 0$. Можем разделить обе части на $(n-2)$:
$ \frac{n(n-1)}{6} = 2(n-3) $
$ n(n-1) = 12(n-3) $
$ n^2 - n = 12n - 36 $
$ n^2 - 13n + 36 = 0 $
По теореме Виета, корни уравнения: $n_1 = 4$ и $n_2 = 9$.
Проверяем по ОДЗ ($n \ge 4$). Оба корня подходят.
Ответ: $n=4, n=9$.