Номер 1105, страница 334 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 11. Комбинаторика. Упражнения к главе 11 - номер 1105, страница 334.

Условие.

1105 Найти значение выражения, предварительно его упростив:

1) $C_{12}^{10} + C_{12}^{11}$;

2) $C_{11}^{9} + C_{11}^{10}$;

3) $C_{8}^{6} + C_{8}^{7} + C_{9}^{8}$;

4) $C_{9}^{5} + C_{9}^{6} + C_{10}^{7}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для упрощения выражения $C_{12}^{10} + C_{12}^{11}$ воспользуемся свойством сочетаний, известным как тождество Паскаля: $C_{n}^{k} + C_{n}^{k+1} = C_{n+1}^{k+1}$.

В данном случае $n=12$ и $k=10$. Применяя тождество, получаем:

$C_{12}^{10} + C_{12}^{11} = C_{12+1}^{11} = C_{13}^{11}$.

Теперь вычислим значение полученного выражения. Для удобства вычислений используем свойство симметрии сочетаний: $C_{n}^{k} = C_{n}^{n-k}$.

$C_{13}^{11} = C_{13}^{13-11} = C_{13}^{2}$.

Вычисляем по формуле числа сочетаний $C_{n}^{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$:

$C_{13}^{2} = \frac{13!}{2!(13-2)!} = \frac{13!}{2! \cdot 11!} = \frac{13 \cdot 12}{2 \cdot 1} = 13 \cdot 6 = 78$.

Ответ: 78

2) Упростим выражение $C_{11}^{9} + C_{11}^{10}$ с помощью тождества Паскаля $C_{n}^{k} + C_{n}^{k+1} = C_{n+1}^{k+1}$.

Здесь $n=11$ и $k=9$. Применяем тождество:

$C_{11}^{9} + C_{11}^{10} = C_{11+1}^{10} = C_{12}^{10}$.

Для вычисления значения используем свойство симметрии $C_{n}^{k} = C_{n}^{n-k}$:

$C_{12}^{10} = C_{12}^{12-10} = C_{12}^{2}$.

Вычисляем по формуле:

$C_{12}^{2} = \frac{12!}{2!(12-2)!} = \frac{12!}{2! \cdot 10!} = \frac{12 \cdot 11}{2 \cdot 1} = 6 \cdot 11 = 66$.

Ответ: 66

3) Рассмотрим выражение $C_{8}^{6} + C_{8}^{7} + C_{9}^{8}$. Упростим его пошагово, применяя тождество Паскаля $C_{n}^{k} + C_{n}^{k+1} = C_{n+1}^{k+1}$.

Сначала сгруппируем и упростим первые два слагаемых $C_{8}^{6} + C_{8}^{7}$. Здесь $n=8$ и $k=6$.

$C_{8}^{6} + C_{8}^{7} = C_{8+1}^{7} = C_{9}^{7}$.

Теперь исходное выражение принимает вид: $C_{9}^{7} + C_{9}^{8}$.

Снова применяем тождество Паскаля, где $n=9$ и $k=7$.

$C_{9}^{7} + C_{9}^{8} = C_{9+1}^{8} = C_{10}^{8}$.

Вычислим значение $C_{10}^{8}$, используя свойство симметрии $C_{n}^{k} = C_{n}^{n-k}$:

$C_{10}^{8} = C_{10}^{10-8} = C_{10}^{2}$.

Вычисляем по формуле:

$C_{10}^{2} = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10!}{2! \cdot 8!} = \frac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1} = 5 \cdot 9 = 45$.

Ответ: 45

4) Рассмотрим выражение $C_{9}^{5} + C_{9}^{6} + C_{10}^{7}$. Упростим его, последовательно применяя тождество Паскаля $C_{n}^{k} + C_{n}^{k+1} = C_{n+1}^{k+1}$.

Упростим сумму первых двух слагаемых $C_{9}^{5} + C_{9}^{6}$. Здесь $n=9$ и $k=5$.

$C_{9}^{5} + C_{9}^{6} = C_{9+1}^{6} = C_{10}^{6}$.

Исходное выражение теперь выглядит так: $C_{10}^{6} + C_{10}^{7}$.

Снова применим тождество Паскаля, где $n=10$ и $k=6$.

$C_{10}^{6} + C_{10}^{7} = C_{10+1}^{7} = C_{11}^{7}$.

Вычислим значение $C_{11}^{7}$. Используем свойство симметрии $C_{n}^{k} = C_{n}^{n-k}$:

$C_{11}^{7} = C_{11}^{11-7} = C_{11}^{4}$.

Вычисляем по формуле:

$C_{11}^{4} = \frac{11!}{4!(11-4)!} = \frac{11!}{4! \cdot 7!} = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{7920}{24} = 330$.

Ответ: 330