Номер 1104, страница 334 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 11. Комбинаторика. Упражнения к главе 11 - номер 1104, страница 334.

Условие.

1104 Сколькими способами можно рассадить:

1) четверых;

2) троих учащихся на имеющихся в классе 20 стульях?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Данная задача решается с помощью формул комбинаторики. Поскольку важно, какой именно ученик на каком стуле сидит, то есть важен порядок расположения учеников, мы имеем дело с размещениями.

Число способов выбрать и разместить k объектов из n различных объектов называется числом размещений из n по k и вычисляется по формуле:
$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot (n-k+1)$

В нашей задаче общее количество стульев n = 20.

1) четверых
Необходимо рассадить k = 4 учащихся на n = 20 стульях. Это означает, что нам нужно выбрать 4 стула из 20 и распределить по ним 4 учеников.
Первого ученика можно посадить на любой из 20 стульев.
Второго ученика — на любой из 19 оставшихся стульев.
Третьего — на любой из 18 оставшихся.
Четвертого — на любой из 17 оставшихся.
Общее число способов равно произведению этих вариантов.
Используем формулу для числа размещений:
$A_{20}^4 = 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 = 116280$
Таким образом, рассадить четверых учащихся на 20 стульях можно 116 280 способами.
Ответ: 116280.

2) троих
Необходимо рассадить k = 3 учащихся на n = 20 стульях.
Аналогично первому пункту, первого ученика можно посадить на 20 стульев, второго — на 19, а третьего — на 18.
Используем формулу для числа размещений:
$A_{20}^3 = 20 \cdot 19 \cdot 18 = 6840$
Таким образом, рассадить троих учащихся на 20 стульях можно 6840 способами.
Ответ: 6840.