Номер 1098, страница 333 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 11. Комбинаторика. Упражнения к главе 11 - номер 1098, страница 333.

Условие.

1098 Упростить:

1) $\frac{(n+3)!}{(n+1)!};$

2) $\frac{(n+2)!}{(n-1)!};$

3) $\left(\frac{1}{(n+1)!} + \frac{1}{n!}\right) \cdot n!;$

4) $\left(\frac{1}{n!} - \frac{1}{(n+1)!}\right) \cdot n!;$

5) $\left(\frac{1}{n!} - \frac{1}{(n+2)!}\right) \cdot (n+1)!;$

6) $\left(\frac{1}{(n+2)!} + \frac{1}{n!}\right) \cdot (n+1)!.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Воспользуемся определением факториала: $k! = k \cdot (k-1) \cdot ... \cdot 1$. Исходя из этого, можно записать, что $(n+3)! = (n+3) \cdot (n+2) \cdot (n+1)!$.
Подставим это в исходное выражение:
$\frac{(n+3)!}{(n+1)!} = \frac{(n+3)(n+2)(n+1)!}{(n+1)!}$
Сократим дробь на $(n+1)!$:
$(n+3)(n+2)$
Раскроем скобки:
$(n+3)(n+2) = n^2 + 2n + 3n + 6 = n^2 + 5n + 6$.

Ответ: $n^2 + 5n + 6$.

2)

Аналогично первому пункту, представим $(n+2)!$ через $(n-1)!$:
$(n+2)! = (n+2) \cdot (n+1) \cdot n \cdot (n-1)!$.
Подставим в выражение:
$\frac{(n+2)!}{(n-1)!} = \frac{(n+2)(n+1)n(n-1)!}{(n-1)!}$
Сократим дробь на $(n-1)!$:
$n(n+1)(n+2)$
Раскроем скобки:
$n(n+1)(n+2) = n(n^2 + 2n + n + 2) = n(n^2 + 3n + 2) = n^3 + 3n^2 + 2n$.

Ответ: $n^3 + 3n^2 + 2n$.

3)

Раскроем скобки, умножив каждый член в скобках на $n!$:
$(\frac{1}{(n+1)!} + \frac{1}{n!}) \cdot n! = \frac{n!}{(n+1)!} + \frac{n!}{n!}$
Упростим каждое слагаемое. Используем свойство $(n+1)! = (n+1) \cdot n!$:
$\frac{n!}{(n+1)n!} + 1 = \frac{1}{n+1} + 1$
Приведем к общему знаменателю:
$\frac{1}{n+1} + \frac{n+1}{n+1} = \frac{1 + n + 1}{n+1} = \frac{n+2}{n+1}$.

Ответ: $\frac{n+2}{n+1}$.

4)

Раскроем скобки, умножив каждый член на $n!$:
$(\frac{1}{n!} - \frac{1}{(n+1)!}) \cdot n! = \frac{n!}{n!} - \frac{n!}{(n+1)!}$
Упростим, используя $(n+1)! = (n+1) \cdot n!$:
$1 - \frac{n!}{(n+1)n!} = 1 - \frac{1}{n+1}$
Приведем к общему знаменателю:
$\frac{n+1}{n+1} - \frac{1}{n+1} = \frac{n+1-1}{n+1} = \frac{n}{n+1}$.

Ответ: $\frac{n}{n+1}$.

5)

Раскроем скобки, умножив каждый член на $(n+1)!$:
$(\frac{1}{n!} - \frac{1}{(n+2)!}) \cdot (n+1)! = \frac{(n+1)!}{n!} - \frac{(n+1)!}{(n+2)!}$
Упростим каждое слагаемое, используя свойства факториала $(n+1)! = (n+1)n!$ и $(n+2)! = (n+2)(n+1)!$:
$\frac{(n+1)n!}{n!} - \frac{(n+1)!}{(n+2)(n+1)!} = (n+1) - \frac{1}{n+2}$
Приведем к общему знаменателю:
$\frac{(n+1)(n+2)}{n+2} - \frac{1}{n+2} = \frac{(n+1)(n+2)-1}{n+2}$
Раскроем скобки в числителе:
$\frac{n^2+2n+n+2-1}{n+2} = \frac{n^2+3n+1}{n+2}$.

Ответ: $\frac{n^2+3n+1}{n+2}$.

6)

Раскроем скобки, умножив каждый член на $(n+1)!$:
$(\frac{1}{(n+2)!} + \frac{1}{n!}) \cdot (n+1)! = \frac{(n+1)!}{(n+2)!} + \frac{(n+1)!}{n!}$
Упростим, используя те же свойства факториала:
$\frac{(n+1)!}{(n+2)(n+1)!} + \frac{(n+1)n!}{n!} = \frac{1}{n+2} + (n+1)$
Приведем к общему знаменателю:
$\frac{1}{n+2} + \frac{(n+1)(n+2)}{n+2} = \frac{1+(n+1)(n+2)}{n+2}$
Раскроем скобки в числителе:
$\frac{1+n^2+2n+n+2}{n+2} = \frac{n^2+3n+3}{n+2}$.

Ответ: $\frac{n^2+3n+3}{n+2}$.