Номер 1102, страница 334 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 11. Комбинаторика. Упражнения к главе 11 - номер 1102, страница 334.

Условие.

1102 Сколько существует способов выбора троих учёных из числа:

1) десяти;

2) девяти сотрудников кафедры?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Данная задача решается с помощью формул комбинаторики. Поскольку порядок выбора учёных не имеет значения, мы будем использовать формулу для нахождения числа сочетаний. Число сочетаний из $n$ элементов по $k$ вычисляется по формуле:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

где $n$ — это общее количество сотрудников, а $k$ — это количество учёных, которых нужно выбрать.

1) десяти;

В этом подпункте необходимо выбрать 3 учёных из 10 сотрудников. Таким образом, $n=10$, а $k=3$.

Применим формулу для числа сочетаний:

$C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!}$

Распишем факториалы и сократим $7!$:

$C_{10}^3 = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7!}{3 \times 2 \times 1 \times 7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1}$

Выполним вычисления:

$C_{10}^3 = \frac{720}{6} = 120$

Ответ: существует 120 способов выбора.

2) девяти сотрудников кафедры?

В данном случае мы выбираем 3 учёных из 9 сотрудников, поэтому $n=9$ и $k=3$.

Используем ту же формулу для числа сочетаний:

$C_9^3 = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9!}{3!6!}$

Расписываем и сокращаем $6!$:

$C_9^3 = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6!}{3 \times 2 \times 1 \times 6!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1}$

Выполним вычисления:

$C_9^3 = \frac{504}{6} = 84$

Ответ: существует 84 способа выбора.