Номер 1096, страница 333 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 11. Комбинаторика. Параграф 64. Бином Ньютона - номер 1096, страница 333.

Условие.

1096 Найти член разложения бинома:

1) $(\sqrt[3]{x} + \frac{1}{\sqrt{x}})^{12}$, содержащий $x^{-1}$;

2) $(\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt[3]{x}})^{16}$, содержащий $x^{3}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для нахождения члена разложения бинома $(\sqrt[3]{x} + \frac{1}{\sqrt{x}})^{12}$, содержащего $x^{-1}$, воспользуемся формулой общего члена разложения бинома Ньютона $(a+b)^n$:

$T_{k+1} = C_n^k a^{n-k} b^k$

В данном случае, $a = \sqrt[3]{x} = x^{1/3}$, $b = \frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2}$ и $n=12$.

Подставим эти значения в формулу общего члена:

$T_{k+1} = C_{12}^k (x^{1/3})^{12-k} (x^{-1/2})^k = C_{12}^k x^{\frac{12-k}{3}} x^{-\frac{k}{2}} = C_{12}^k x^{\frac{12-k}{3} - \frac{k}{2}}$

Чтобы найти член, содержащий $x^{-1}$, необходимо, чтобы показатель степени $x$ был равен -1. Составим и решим уравнение:

$\frac{12-k}{3} - \frac{k}{2} = -1$

Для решения умножим обе части уравнения на 6:

$2(12-k) - 3k = -6$

$24 - 2k - 3k = -6$

$24 - 5k = -6$

$5k = 24 + 6$

$5k = 30$

$k = 6$

Это означает, что искомый член является $(6+1)=7$-м членом разложения. Теперь найдем его, подставив $k=6$ в формулу для $T_{k+1}$:

$T_7 = C_{12}^6 x^{\frac{12-6}{3} - \frac{6}{2}} = C_{12}^6 x^{\frac{6}{3} - 3} = C_{12}^6 x^{2 - 3} = C_{12}^6 x^{-1}$

Осталось вычислить биномиальный коэффициент $C_{12}^6$:

$C_{12}^6 = \frac{12!}{6!(12-6)!} = \frac{12!}{6!6!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 11 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 7 = 924$

Следовательно, искомый член разложения равен $924x^{-1}$.

Ответ: $924x^{-1}$

2) Для нахождения члена разложения бинома $(\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt[3]{x}})^{16}$, содержащего $x^3$, также используем формулу общего члена $T_{k+1} = C_n^k a^{n-k} b^k$.

Здесь $a = \sqrt{x} = x^{1/2}$, $b = \frac{1}{\sqrt[3]{x}} = x^{-1/3}$ и $n=16$.

Запишем общий член разложения:

$T_{k+1} = C_{16}^k (x^{1/2})^{16-k} (x^{-1/3})^k = C_{16}^k x^{\frac{16-k}{2}} x^{-\frac{k}{3}} = C_{16}^k x^{\frac{16-k}{2} - \frac{k}{3}}$

Чтобы найти член, содержащий $x^3$, приравняем показатель степени $x$ к 3:

$\frac{16-k}{2} - \frac{k}{3} = 3$

Умножим обе части уравнения на 6:

$3(16-k) - 2k = 18$

$48 - 3k - 2k = 18$

$48 - 5k = 18$

$5k = 48 - 18$

$5k = 30$

$k = 6$

Искомый член является $(6+1)=7$-м членом разложения. Найдем его, подставив $k=6$ в формулу:

$T_7 = C_{16}^6 x^{\frac{16-6}{2} - \frac{6}{3}} = C_{16}^6 x^{\frac{10}{2} - 2} = C_{16}^6 x^{5 - 2} = C_{16}^6 x^3$

Теперь вычислим биномиальный коэффициент $C_{16}^6$:

$C_{16}^6 = \frac{16!}{6!(16-6)!} = \frac{16!}{6!10!} = \frac{16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = (16 \div 4 \div 2) \cdot (15 \div 5 \div 3) \cdot 14 \cdot 13 \cdot (12 \div 6) \cdot 11 = 2 \cdot 1 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 2 \cdot 11 \text{ (это один из способов сокращения)}$.

Другой способ сокращения: $C_{16}^6 = \frac{16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11}{720} = \frac{16 \cdot (3 \cdot 5) \cdot 14 \cdot 13 \cdot (2 \cdot 6) \cdot 11}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 4 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 11 = 8008$.

Следовательно, искомый член разложения равен $8008x^3$.

Ответ: $8008x^3$