Номер 1094, страница 333 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 11. Комбинаторика. Параграф 64. Бином Ньютона - номер 1094, страница 333.

Условие.

1094 Найти четвёртый член разложения бинома:

1) $(\sqrt{x} + x)^{12}$;

2) $(x - \sqrt{x})^{14}$;

3) $\left(x - \frac{1}{x}\right)^{13}$;

4) $\left(\frac{1}{x} + x\right)^{11}$;

5) $(a^{0.1} + a^{0.2})^9$;

6) $(b^{0.3} + b^{0.4})^8$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для нахождения указанного члена разложения бинома используется формула n-го члена бинома Ньютона $(a+b)^n$:

$T_{k+1} = \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$, где $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ – биномиальный коэффициент.

Во всех случаях необходимо найти четвертый член разложения, что соответствует $k+1 = 4$, следовательно, $k=3$.

1) $(\sqrt{x} + x)^{12}$

В данном случае $a = \sqrt{x}$, $b = x$ и $n = 12$. Ищем четвертый член, поэтому $k=3$.Подставляем значения в формулу:$T_4 = \binom{12}{3} (\sqrt{x})^{12-3} (x)^3$Вычисляем биномиальный коэффициент:$\binom{12}{3} = \frac{12!}{3!(12-3)!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 2 \cdot 11 \cdot 10 = 220$.Вычисляем степени:$(\sqrt{x})^{9} = (x^{1/2})^9 = x^{9/2}$.$x^3$.Перемножаем все части:$T_4 = 220 \cdot x^{9/2} \cdot x^3 = 220 x^{9/2 + 3} = 220 x^{9/2 + 6/2} = 220 x^{15/2}$.Ответ: $220x^{15/2}$.

2) $(x - \sqrt{x})^{14}$

Здесь $a = x$, $b = -\sqrt{x}$ и $n = 14$. Ищем четвертый член, поэтому $k=3$.$T_4 = \binom{14}{3} (x)^{14-3} (-\sqrt{x})^3$Вычисляем биномиальный коэффициент:$\binom{14}{3} = \frac{14!}{3!(14-3)!} = \frac{14 \cdot 13 \cdot 12}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 14 \cdot 13 \cdot 2 = 364$.Вычисляем степени:$x^{14-3} = x^{11}$.$(-\sqrt{x})^3 = (-1)^3 (x^{1/2})^3 = -x^{3/2}$.Перемножаем:$T_4 = 364 \cdot x^{11} \cdot (-x^{3/2}) = -364 x^{11 + 3/2} = -364 x^{22/2 + 3/2} = -364 x^{25/2}$.Ответ: $-364x^{25/2}$.

3) $(x - \frac{1}{x})^{13}$

В этом случае $a = x$, $b = -\frac{1}{x}$ и $n = 13$. Ищем четвертый член, $k=3$.$T_4 = \binom{13}{3} (x)^{13-3} (-\frac{1}{x})^3$Вычисляем биномиальный коэффициент:$\binom{13}{3} = \frac{13!}{3!(13-3)!} = \frac{13 \cdot 12 \cdot 11}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 13 \cdot 2 \cdot 11 = 286$.Вычисляем степени:$x^{13-3} = x^{10}$.$(-\frac{1}{x})^3 = (-1)^3 (\frac{1}{x^3}) = -x^{-3}$.Перемножаем:$T_4 = 286 \cdot x^{10} \cdot (-x^{-3}) = -286 x^{10-3} = -286 x^7$.Ответ: $-286x^7$.

4) $(\frac{1}{x} + x)^{11}$

Здесь $a = \frac{1}{x}$, $b = x$ и $n = 11$. Ищем четвертый член, $k=3$.$T_4 = \binom{11}{3} (\frac{1}{x})^{11-3} (x)^3$Вычисляем биномиальный коэффициент:$\binom{11}{3} = \frac{11!}{3!(11-3)!} = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 11 \cdot 5 \cdot 3 = 165$.Вычисляем степени:$(\frac{1}{x})^{11-3} = (\frac{1}{x})^8 = x^{-8}$.$x^3$.Перемножаем:$T_4 = 165 \cdot x^{-8} \cdot x^3 = 165 x^{-8+3} = 165 x^{-5}$.Ответ: $165x^{-5}$.

5) $(a^{0.1} + a^{0.2})^9$

В данном случае первый член равен $a^{0.1}$, второй — $a^{0.2}$, и $n = 9$. Ищем четвертый член, $k=3$.$T_4 = \binom{9}{3} (a^{0.1})^{9-3} (a^{0.2})^3$Вычисляем биномиальный коэффициент:$\binom{9}{3} = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 3 \cdot 4 \cdot 7 = 84$.Вычисляем степени:$(a^{0.1})^{9-3} = (a^{0.1})^6 = a^{0.6}$.$(a^{0.2})^3 = a^{0.6}$.Перемножаем:$T_4 = 84 \cdot a^{0.6} \cdot a^{0.6} = 84 a^{0.6+0.6} = 84 a^{1.2}$.Ответ: $84a^{1.2}$.

6) $(b^{0.3} + b^{0.4})^8$

Здесь первый член равен $b^{0.3}$, второй — $b^{0.4}$, и $n = 8$. Ищем четвертый член, $k=3$.$T_4 = \binom{8}{3} (b^{0.3})^{8-3} (b^{0.4})^3$Вычисляем биномиальный коэффициент:$\binom{8}{3} = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56$.Вычисляем степени:$(b^{0.3})^{8-3} = (b^{0.3})^5 = b^{1.5}$.$(b^{0.4})^3 = b^{1.2}$.Перемножаем:$T_4 = 56 \cdot b^{1.5} \cdot b^{1.2} = 56 b^{1.5+1.2} = 56 b^{2.7}$.Ответ: $56b^{2.7}$.