Номер 1099, страница 334 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 11. Комбинаторика. Упражнения к главе 11 - номер 1099, страница 334.

Условие.

1099 Найти значение выражения:

1) $\frac{A_7^4}{P_5}$;

2) $\frac{A_6^3}{P_4}$;

3) $\left(\frac{C_{11}^7}{10} - \frac{C_7^2}{5}\right) \cdot \frac{P_5}{A_6^4}$;

4) $\left(\frac{C_{10}^7}{3} + \frac{C_6^2}{6}\right) \cdot \frac{P_4}{A_5^4}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Найдем значение выражения $\frac{A_7^4}{P_5}$. Для этого воспользуемся формулами для числа размещений и числа перестановок.

Число размещений из $n$ по $k$ вычисляется по формуле $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.

Вычислим числитель: $A_7^4 = \frac{7!}{(7-4)!} = \frac{7!}{3!} = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 = 840$.

Число перестановок $n$ элементов: $P_n = n!$.

Вычислим знаменатель: $P_5 = 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$.

Найдем значение дроби: $\frac{A_7^4}{P_5} = \frac{840}{120} = 7$.

Ответ: 7

2)

Найдем значение выражения $\frac{A_6^3}{P_4}$.

Вычислим числитель: $A_6^3 = \frac{6!}{(6-3)!} = \frac{6!}{3!} = 6 \cdot 5 \cdot 4 = 120$.

Вычислим знаменатель: $P_4 = 4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$.

Найдем значение дроби: $\frac{A_6^3}{P_4} = \frac{120}{24} = 5$.

Ответ: 5

3)

Найдем значение выражения $(\frac{C_{11}^7}{10} - \frac{C_7^2}{5}) \cdot \frac{P_5}{A_6^4}$.

Сначала вычислим значения всех компонентов. Число сочетаний из $n$ по $k$ вычисляется по формуле $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$. Используем также свойство $C_n^k = C_n^{n-k}$.

$C_{11}^7 = C_{11}^{11-7} = C_{11}^4 = \frac{11!}{4!(11-4)!} = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 11 \cdot 10 \cdot 3 = 330$.

$C_7^2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = 21$.

$P_5 = 5! = 120$.

$A_6^4 = \frac{6!}{(6-4)!} = \frac{6!}{2!} = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 360$.

Теперь подставим вычисленные значения в исходное выражение:

$(\frac{330}{10} - \frac{21}{5}) \cdot \frac{120}{360} = (33 - 4,2) \cdot \frac{1}{3} = 28,8 \cdot \frac{1}{3} = 9,6$.

Ответ: 9,6

4)

Найдем значение выражения $(\frac{C_{10}^7}{3} + \frac{C_6^2}{6}) \cdot \frac{P_4}{A_5^4}$.

Вычислим значения компонентов выражения:

$C_{10}^7 = C_{10}^{10-7} = C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120$.

$C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15$.

$P_4 = 4! = 24$.

$A_5^4 = \frac{5!}{(5-4)!} = \frac{5!}{1!} = 120$.

Подставим полученные значения в выражение и вычислим результат:

$(\frac{120}{3} + \frac{15}{6}) \cdot \frac{24}{120} = (40 + 2,5) \cdot \frac{1}{5} = 42,5 \cdot 0,2 = 8,5$.

Ответ: 8,5