Номер 1095, страница 333 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 11. Комбинаторика. Параграф 64. Бином Ньютона - номер 1095, страница 333.

Условие.

1095 С помощью свойства элементов строки треугольника Паскаля найти сумму:

1) $C_7^0 + C_7^1 + C_7^2 + C_7^3 + C_7^4 + C_7^5 + C_7^6 + C_7^7;$

2) $C_6^6 + C_6^5 + C_6^4 + C_6^3 + C_6^2 + C_6^0;$

3) $C_6^1 + C_6^2 + C_6^3 + C_6^4 + C_6^5;$

4) $C_7^6 + C_7^5 + C_7^4 + C_7^3 + C_7^2 + C_7^1;$

5) $C_9^0 + C_9^1 + C_9^2 + C_9^3 + C_9^4;$

6) $C_{11}^5 + C_{11}^4 + C_{11}^3 + C_{11}^2 + C_{11}^1 + C_{11}^0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для нахождения суммы $C_7^0 + C_7^1 + C_7^2 + C_7^3 + C_7^4 + C_7^5 + C_7^6 + C_7^7$ воспользуемся свойством суммы всех элементов n-ой строки треугольника Паскаля. Сумма всех биномиальных коэффициентов для заданной степени $n$ равна $2^n$. Формула имеет вид:
$\sum_{k=0}^{n} C_n^k = C_n^0 + C_n^1 + \dots + C_n^n = 2^n$.
В данном случае $n=7$. Следовательно, искомая сумма представляет собой сумму всех элементов 7-ой строки треугольника Паскаля:
$C_7^0 + C_7^1 + C_7^2 + C_7^3 + C_7^4 + C_7^5 + C_7^6 + C_7^7 = 2^7 = 128$.
Ответ: 128.

2) Необходимо найти сумму $C_6^6 + C_6^5 + C_6^4 + C_6^3 + C_6^2 + C_6^0$.Перепишем слагаемые в порядке возрастания верхнего индекса: $C_6^0 + C_6^2 + C_6^3 + C_6^4 + C_6^5 + C_6^6$.Сумма всех элементов 6-ой строки треугольника Паскаля равна $\sum_{k=0}^{6} C_6^k = 2^6 = 64$.В данной сумме отсутствует член $C_6^1$. Таким образом, искомую сумму можно найти, вычтя из полной суммы недостающий член:
$S = (\sum_{k=0}^{6} C_6^k) - C_6^1 = 2^6 - C_6^1$.
Значение $C_6^1$ равно:
$C_6^1 = \frac{6!}{1!(6-1)!} = 6$.
Подставим это значение в формулу:
$S = 64 - 6 = 58$.
Ответ: 58.

3) Необходимо найти сумму $C_6^1 + C_6^2 + C_6^3 + C_6^4 + C_6^5$.Эта сумма представляет собой сумму всех элементов 6-ой строки треугольника Паскаля, за исключением первого ($C_6^0$) и последнего ($C_6^6$) элементов.Полная сумма элементов 6-ой строки равна $\sum_{k=0}^{6} C_6^k = 2^6 = 64$.Вычтем из полной суммы недостающие члены:
$S = (\sum_{k=0}^{6} C_6^k) - C_6^0 - C_6^6$.
Значения $C_6^0$ и $C_6^6$ равны 1:
$C_6^0 = 1$, $C_6^6 = 1$.
Тогда сумма равна:
$S = 64 - 1 - 1 = 62$.
Ответ: 62.

4) Необходимо найти сумму $C_7^6 + C_7^5 + C_7^4 + C_7^3 + C_7^2 + C_7^1$.Перепишем слагаемые в порядке возрастания верхнего индекса: $C_7^1 + C_7^2 + C_7^3 + C_7^4 + C_7^5 + C_7^6$.Эта сумма представляет собой сумму всех элементов 7-ой строки треугольника Паскаля, за исключением первого ($C_7^0$) и последнего ($C_7^7$) элементов.Полная сумма элементов 7-ой строки равна $\sum_{k=0}^{7} C_7^k = 2^7 = 128$.Вычтем из полной суммы недостающие члены:
$S = (\sum_{k=0}^{7} C_7^k) - C_7^0 - C_7^7$.
Значения $C_7^0$ и $C_7^7$ равны 1:
$C_7^0 = 1$, $C_7^7 = 1$.
Тогда сумма равна:
$S = 128 - 1 - 1 = 126$.
Ответ: 126.

5) Необходимо найти сумму $C_9^0 + C_9^1 + C_9^2 + C_9^3 + C_9^4$.Это сумма первых пяти из десяти элементов (от $k=0$ до $k=9$) 9-ой строки треугольника Паскаля.Полная сумма элементов 9-ой строки равна $\sum_{k=0}^{9} C_9^k = 2^9 = 512$.Воспользуемся свойством симметрии биномиальных коэффициентов: $C_n^k = C_n^{n-k}$.Для $n=9$ строка симметрична, и сумма первой половины элементов равна сумме второй половины:
$C_9^0 + C_9^1 + C_9^2 + C_9^3 + C_9^4 = C_9^9 + C_9^8 + C_9^7 + C_9^6 + C_9^5$.
Таким образом, искомая сумма $S$ составляет ровно половину от полной суммы:
$2S = \sum_{k=0}^{9} C_9^k = 2^9$.
$S = \frac{2^9}{2} = 2^8 = 256$.
Ответ: 256.

6) Необходимо найти сумму $C_{11}^5 + C_{11}^4 + C_{11}^3 + C_{11}^2 + C_{11}^1 + C_{11}^0$.Перепишем слагаемые в порядке возрастания верхнего индекса: $S = C_{11}^0 + C_{11}^1 + C_{11}^2 + C_{11}^3 + C_{11}^4 + C_{11}^5$.Это сумма первых шести из двенадцати элементов (от $k=0$ до $k=11$) 11-ой строки треугольника Паскаля.Полная сумма элементов 11-ой строки равна $\sum_{k=0}^{11} C_{11}^k = 2^{11} = 2048$.Используя свойство симметрии $C_n^k = C_n^{n-k}$, мы видим, что сумма первых шести членов равна сумме последних шести членов:
$C_{11}^0 + C_{11}^1 + \dots + C_{11}^5 = C_{11}^{11} + C_{11}^{10} + \dots + C_{11}^6$.
Следовательно, искомая сумма составляет ровно половину от полной суммы элементов 11-ой строки:
$S = \frac{1}{2} \sum_{k=0}^{11} C_{11}^k = \frac{2^{11}}{2} = 2^{10}$.
$S = 1024$.
Ответ: 1024.