Номер 1093, страница 332 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 11. Комбинаторика. Параграф 64. Бином Ньютона - номер 1093, страница 332.

Условие.

1093 Записать разложение бинома:

1) $(1+\sqrt{2})^6$;

2) $(1+\sqrt{3})^5$;

3) $\left(a - \frac{1}{3a}\right)^7$;

4) $\left(b - \frac{1}{2b}\right)^6$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для разложения бинома $(x+y)^n$ используется формула бинома Ньютона:

$(x+y)^n = C_n^0 x^n y^0 + C_n^1 x^{n-1} y^1 + C_n^2 x^{n-2} y^2 + \dots + C_n^{n-1} x^1 y^{n-1} + C_n^n x^0 y^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k x^{n-k} y^k$

где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальные коэффициенты. Их можно найти с помощью треугольника Паскаля.

Коэффициенты для $n=6$: 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1.

Коэффициенты для $n=5$: 1, 5, 10, 10, 5, 1.

Коэффициенты для $n=7$: 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1.

1) $(1+\sqrt{2})^6$

Применим формулу бинома Ньютона, где $x=1$, $y=\sqrt{2}$, $n=6$.

$(1+\sqrt{2})^6 = C_6^0 \cdot 1^6 \cdot (\sqrt{2})^0 + C_6^1 \cdot 1^5 \cdot (\sqrt{2})^1 + C_6^2 \cdot 1^4 \cdot (\sqrt{2})^2 + C_6^3 \cdot 1^3 \cdot (\sqrt{2})^3 + C_6^4 \cdot 1^2 \cdot (\sqrt{2})^4 + C_6^5 \cdot 1^1 \cdot (\sqrt{2})^5 + C_6^6 \cdot 1^0 \cdot (\sqrt{2})^6$

Подставим значения биномиальных коэффициентов для $n=6$ и вычислим степени:

$1 \cdot 1 \cdot 1 + 6 \cdot 1 \cdot \sqrt{2} + 15 \cdot 1 \cdot 2 + 20 \cdot 1 \cdot 2\sqrt{2} + 15 \cdot 1 \cdot 4 + 6 \cdot 1 \cdot 4\sqrt{2} + 1 \cdot 1 \cdot 8$

Упростим выражение:

$1 + 6\sqrt{2} + 30 + 40\sqrt{2} + 60 + 24\sqrt{2} + 8$

Сгруппируем рациональные и иррациональные слагаемые:

$(1 + 30 + 60 + 8) + (6\sqrt{2} + 40\sqrt{2} + 24\sqrt{2}) = 99 + 70\sqrt{2}$

Ответ: $99 + 70\sqrt{2}$.

2) $(1+\sqrt{3})^5$

Применим формулу бинома Ньютона, где $x=1$, $y=\sqrt{3}$, $n=5$.

$(1+\sqrt{3})^5 = C_5^0 \cdot 1^5 \cdot (\sqrt{3})^0 + C_5^1 \cdot 1^4 \cdot (\sqrt{3})^1 + C_5^2 \cdot 1^3 \cdot (\sqrt{3})^2 + C_5^3 \cdot 1^2 \cdot (\sqrt{3})^3 + C_5^4 \cdot 1^1 \cdot (\sqrt{3})^4 + C_5^5 \cdot 1^0 \cdot (\sqrt{3})^5$

Подставим значения биномиальных коэффициентов для $n=5$ и вычислим степени:

$1 \cdot 1 \cdot 1 + 5 \cdot 1 \cdot \sqrt{3} + 10 \cdot 1 \cdot 3 + 10 \cdot 1 \cdot 3\sqrt{3} + 5 \cdot 1 \cdot 9 + 1 \cdot 1 \cdot 9\sqrt{3}$

Упростим выражение:

$1 + 5\sqrt{3} + 30 + 30\sqrt{3} + 45 + 9\sqrt{3}$

Сгруппируем рациональные и иррациональные слагаемые:

$(1 + 30 + 45) + (5\sqrt{3} + 30\sqrt{3} + 9\sqrt{3}) = 76 + 44\sqrt{3}$

Ответ: $76 + 44\sqrt{3}$.

3) $(a - \frac{1}{3a})^7$

Применим формулу бинома Ньютона, где $x=a$, $y=-\frac{1}{3a}$, $n=7$.

$(a - \frac{1}{3a})^7 = C_7^0 a^7 - C_7^1 a^6 (\frac{1}{3a}) + C_7^2 a^5 (\frac{1}{3a})^2 - C_7^3 a^4 (\frac{1}{3a})^3 + C_7^4 a^3 (\frac{1}{3a})^4 - C_7^5 a^2 (\frac{1}{3a})^5 + C_7^6 a^1 (\frac{1}{3a})^6 - C_7^7 (\frac{1}{3a})^7$

Подставим значения биномиальных коэффициентов для $n=7$ и упростим каждый член разложения:

$1 \cdot a^7 - 7 \cdot a^6 \cdot \frac{1}{3a} + 21 \cdot a^5 \cdot \frac{1}{9a^2} - 35 \cdot a^4 \cdot \frac{1}{27a^3} + 35 \cdot a^3 \cdot \frac{1}{81a^4} - 21 \cdot a^2 \cdot \frac{1}{243a^5} + 7 \cdot a \cdot \frac{1}{729a^6} - 1 \cdot \frac{1}{2187a^7}$

Выполним сокращения:

$a^7 - \frac{7}{3}a^5 + \frac{21}{9}a^3 - \frac{35}{27}a + \frac{35}{81a} - \frac{21}{243a^3} + \frac{7}{729a^5} - \frac{1}{2187a^7}$

Упростим дроби:

$a^7 - \frac{7}{3}a^5 + \frac{7}{3}a^3 - \frac{35}{27}a + \frac{35}{81a} - \frac{7}{81a^3} + \frac{7}{729a^5} - \frac{1}{2187a^7}$

Ответ: $a^7 - \frac{7}{3}a^5 + \frac{7}{3}a^3 - \frac{35}{27}a + \frac{35}{81a} - \frac{7}{81a^3} + \frac{7}{729a^5} - \frac{1}{2187a^7}$.

4) $(b - \frac{1}{2b})^6$

Применим формулу бинома Ньютона, где $x=b$, $y=-\frac{1}{2b}$, $n=6$.

$(b - \frac{1}{2b})^6 = C_6^0 b^6 - C_6^1 b^5 (\frac{1}{2b}) + C_6^2 b^4 (\frac{1}{2b})^2 - C_6^3 b^3 (\frac{1}{2b})^3 + C_6^4 b^2 (\frac{1}{2b})^4 - C_6^5 b (\frac{1}{2b})^5 + C_6^6 (\frac{1}{2b})^6$

Подставим значения биномиальных коэффициентов для $n=6$ и упростим каждый член разложения:

$1 \cdot b^6 - 6 \cdot b^5 \cdot \frac{1}{2b} + 15 \cdot b^4 \cdot \frac{1}{4b^2} - 20 \cdot b^3 \cdot \frac{1}{8b^3} + 15 \cdot b^2 \cdot \frac{1}{16b^4} - 6 \cdot b \cdot \frac{1}{32b^5} + 1 \cdot \frac{1}{64b^6}$

Выполним сокращения и упростим дроби:

$b^6 - 3b^4 + \frac{15}{4}b^2 - \frac{20}{8} + \frac{15}{16b^2} - \frac{6}{32b^4} + \frac{1}{64b^6}$

$b^6 - 3b^4 + \frac{15}{4}b^2 - \frac{5}{2} + \frac{15}{16b^2} - \frac{3}{16b^4} + \frac{1}{64b^6}$

Ответ: $b^6 - 3b^4 + \frac{15}{4}b^2 - \frac{5}{2} + \frac{15}{16b^2} - \frac{3}{16b^4} + \frac{1}{64b^6}$.