Номер 1086, страница 329 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 11. Комбинаторика. Параграф 63. Сочетания и их свойства - номер 1086, страница 329.

Условие.

1086 На окружности отмечено:

1) 7 точек

2) 8 точек

Сколько различных выпуклых четырёхугольников с вершинами, выбранными из этих точек, можно построить?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Задача состоит в том, чтобы найти количество способов выбрать 4 вершины для четырёхугольника из заданного числа точек на окружности. Поскольку все точки лежат на одной окружности, любой выбор четырёх точек однозначно определяет выпуклый четырёхугольник. Порядок выбора вершин не имеет значения (четырёхугольник, образованный точками A, B, C, D, тот же самый, что и образованный точками B, C, D, A), поэтому для решения задачи нужно использовать формулу для числа сочетаний.

Количество способов выбрать $k$ элементов из множества, содержащего $n$ элементов (число сочетаний), определяется по формуле:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае, для построения четырёхугольника необходимо выбрать 4 вершины, поэтому $k=4$.

1)

На окружности отмечено $n=7$ точек. Найдём число различных четырёхугольников, которые можно построить, используя эти точки в качестве вершин:

$C_7^4 = \frac{7!}{4!(7-4)!} = \frac{7!}{4!3!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4!}{4! \times (3 \times 2 \times 1)} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 7 \times 5 = 35$

Ответ: 35.

2)

На окружности отмечено $n=8$ точек. Найдём число различных четырёхугольников:

$C_8^4 = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8!}{4!4!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4!}{4! \times (4 \times 3 \times 2 \times 1)} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{1680}{24} = 70$

Ответ: 70.