Номер 1080, страница 329 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 11. Комбинаторика. Параграф 63. Сочетания и их свойства - номер 1080, страница 329.

Условие.

1080 Найти значение:

1) $C_7^1$;

2) $C_6^1$;

3) $C_8^2$;

4) $C_7^2$;

5) $C_7^3$;

6) $C_8^3$;

7) $C_9^8$;

8) $C_{10}^9$;

9) $C_{15}^{15}$;

10) $C_{12}^{12}$;

11) $C_{30}^0$;

12) $C_{40}^0$;

13) $C_{50}^{48}$;

14) $C_{40}^{38}$;

15) $C_{70}^2$;

16) $C_{60}^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для нахождения значений выражений используется формула числа сочетаний из $n$ по $k$: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$. Также полезно помнить некоторые свойства сочетаний:

• $C_n^0 = 1$
• $C_n^n = 1$
• $C_n^1 = n$
• $C_n^k = C_n^{n-k}$ (свойство симметрии)

1) По свойству $C_n^1 = n$:

$C_7^1 = 7$.

Ответ: 7

2) По свойству $C_n^1 = n$:

$C_6^1 = 6$.

Ответ: 6

3) По формуле числа сочетаний:

$C_8^2 = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8!}{2! \cdot 6!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6!}{2 \cdot 1 \cdot 6!} = \frac{8 \cdot 7}{2} = 28$.

Ответ: 28

4) По формуле числа сочетаний:

$C_7^2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7!}{2! \cdot 5!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5!}{2 \cdot 1 \cdot 5!} = \frac{7 \cdot 6}{2} = 21$.

Ответ: 21

5) По формуле числа сочетаний:

$C_7^3 = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3! \cdot 4!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 4!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{6} = 35$.

Ответ: 35

6) По формуле числа сочетаний:

$C_8^3 = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3! \cdot 5!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 5!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{6} = 56$.

Ответ: 56

7) Используем свойство симметрии $C_n^k = C_n^{n-k}$:

$C_9^8 = C_9^{9-8} = C_9^1 = 9$.

Ответ: 9

8) Используем свойство симметрии $C_n^k = C_n^{n-k}$:

$C_{10}^9 = C_{10}^{10-9} = C_{10}^1 = 10$.

Ответ: 10

9) По свойству $C_n^n = 1$:

$C_{15}^{15} = 1$.

Ответ: 1

10) По свойству $C_n^n = 1$:

$C_{12}^{12} = 1$.

Ответ: 1

11) По свойству $C_n^0 = 1$:

$C_{30}^0 = 1$.

Ответ: 1

12) По свойству $C_n^0 = 1$:

$C_{40}^0 = 1$.

Ответ: 1

13) Используем свойство симметрии $C_n^k = C_n^{n-k}$ и затем формулу:

$C_{50}^{48} = C_{50}^{50-48} = C_{50}^2 = \frac{50!}{2!(50-2)!} = \frac{50 \cdot 49}{2 \cdot 1} = 25 \cdot 49 = 1225$.

Ответ: 1225

14) Используем свойство симметрии $C_n^k = C_n^{n-k}$ и затем формулу:

$C_{40}^{38} = C_{40}^{40-38} = C_{40}^2 = \frac{40!}{2!(40-2)!} = \frac{40 \cdot 39}{2 \cdot 1} = 20 \cdot 39 = 780$.

Ответ: 780

15) По формуле числа сочетаний:

$C_{70}^2 = \frac{70!}{2!(70-2)!} = \frac{70!}{2! \cdot 68!} = \frac{70 \cdot 69}{2 \cdot 1} = 35 \cdot 69 = 2415$.

Ответ: 2415

16) По формуле числа сочетаний:

$C_{60}^2 = \frac{60!}{2!(60-2)!} = \frac{60!}{2! \cdot 58!} = \frac{60 \cdot 59}{2 \cdot 1} = 30 \cdot 59 = 1770$.

Ответ: 1770