Номер 1083, страница 329 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 11. Комбинаторика. Параграф 63. Сочетания и их свойства - номер 1083, страница 329.

Условие.

1083 В помещении 16 ламп. Сколько существует вариантов его освещения, если одновременно должны светиться:

1) 15 ламп;

2) 14 ламп?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Эта задача решается с помощью методов комбинаторики. Нам нужно найти количество способов выбрать определенное число работающих ламп из общего их количества. Поскольку порядок выбора ламп не имеет значения (важно только, какие именно лампы горят), мы будем использовать формулу для числа сочетаний.
Число сочетаний из $n$ элементов по $k$ вычисляется по формуле:
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
В данной задаче общее количество ламп $n = 16$.

1) 15 ламп
Необходимо найти, сколькими способами можно выбрать 15 горящих ламп из 16 имеющихся. В этом случае $k=15$.
Применим формулу числа сочетаний:
$C_{16}^{15} = \frac{16!}{15!(16-15)!} = \frac{16!}{15! \cdot 1!}$
Зная, что $16! = 16 \cdot 15!$ и $1! = 1$, получаем:
$C_{16}^{15} = \frac{16 \cdot 15!}{15! \cdot 1} = 16$
Также можно рассуждать, что выбрать 15 горящих ламп — это то же самое, что выбрать 1 лампу, которая не будет гореть. Из 16 ламп одну можно выбрать 16-ю способами.
Ответ: 16

2) 14 ламп
Необходимо найти, сколькими способами можно выбрать 14 горящих ламп из 16. Здесь $k=14$.
Снова используем формулу числа сочетаний:
$C_{16}^{14} = \frac{16!}{14!(16-14)!} = \frac{16!}{14! \cdot 2!}$
Распишем факториалы: $16! = 16 \cdot 15 \cdot 14!$ и $2! = 2 \cdot 1 = 2$.
$C_{16}^{14} = \frac{16 \cdot 15 \cdot 14!}{14! \cdot 2} = \frac{16 \cdot 15}{2}$
Выполним вычисления:
$C_{16}^{14} = 8 \cdot 15 = 120$
Иначе говоря, выбрать 14 горящих ламп — это то же самое, что выбрать 2 лампы, которые не будут гореть. Число способов выбрать 2 лампы из 16 также равно $C_{16}^2 = 120$.
Ответ: 120